Polarkoordinaten
Zur Beschreibung von Kreisbewegungen sind kartesische
Koordinaten unbeque
Transformation von kartesisch zu polar
r = (x2 + y2)1/2 ,
ϑ = arctan (y / x) .
Transformation von polar zu kartesisch
x = r cos ϑ,
y = r sin ϑ.
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Winkelmessung
In Analogie zur linearen Bewegung: Winkelverschiebung
Länge: ϑ = |ϑ − ϑ0|
Ein Grad (1°) ist der 360-ste Teil eines vollen Kreises, also sind
360° ein voller Kreis.
Ein Radiant (1 rad) ist der Winkel, bei dem die Länge des Kreisbogens so groß ist wie der Radius des Kreises. Ein Winkel von 2 rad
ist somit in voller Kreis.
ϑ = Bogenlänge / Radius
oder
s=rϑ
1 rad = 360° / (2 π)
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Winkelgeschwindigkeit
in Analogie zur linearen Bewegung ( v = dx/dt)
Winkelgeschwindigkeit ω
zeitliche Ableitung der Winkelverschiebung ϑ
ω = dϑ
ϑ/dt
ω
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Tangentialgeschwindigkeit
Geschwindigkeit zeigt immer in tangentialer Richtung
Tangentialgeschwindigkeit
linear Verschiebung längst dem Kreisumfang
v = d x / dt
Eine infinitesimal kleine lineare Verschiebung dx ist gleich der
entsprechenden Bogenlänge d s
v = ds / d t
Die Bogenlänge aber ist s = rϑ
v = d(rϑ)/dt = ϑ dr/dt + r dϑ/dt
erste Term trägt nicht bei (r = konstant)
v = r dϑ/dt = r ω .
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Winkelbeschleunigung
Zentripetalbeschleunigung
ändert die Richtung des Geschwindigkeitsvektors
Winkelbeschleunigung
ändert den Betrag des Geschwindigkeitsvektors
analog zur linearen Bewegung (a = dv/dt)
Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit
α = dω/dt
Tangentialbeschleunigung
a=rα
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Lineare Bewegung und Kreisbewegung
Grundgrößen
lineare
Bewegung
Kreis
Bewegung
Verschiebung
x
Geschwindigkeit
v
Beschleungigung
a
ϑ
ω
α
kinematische Gleichungen
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Rotation starrer Körper
analogie zur linearen Bewegung
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Drehmoment
lineare Bewegung
F = ma
Drehbewegung
τ=Ια
Ι...
...Trägheitsmoment
...
α...Winkelbschleunigung
Drehmoment
τ=rxF
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Drehmoment (Vektorprodukt)
das Dremeoment
ist ein Vektor
τ=rxF
Betrag
|ττ| = |r x F| = r F sin ϑ = r F⊥
| Drehmoment | = Länge des Hebelarms mal
Kraftkomponente senkrecht zum Hebelarm
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Gleichgewicht
FG,M
Eine Leiter der Masse 20,0 kg lehnt wie in
der Abbildung gezeigt in einer Höhe von
4,50 m gegen eine glatte Wand. Ein Arbeiter
mit der Masse 80,0 kg steigt auf die Leiter.
Welche Reibungskraft muß zwischen der
Leiter und dem Boden wirken, damit die
Leiter nicht rutscht?
FG,L
Gleichgewicht
Summer aller Kräfte = null
Summe aller Momente = null
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Lösung
Summer der Kräfte
Σ Fx = R - FR = 0
ΣFy = N - FG,M - FG,L = 0
oder
R = FR , N = FG,M + FG,L
Summe der Momente
Στ = R · 4,5 m - FG,M · 1,2 m - FG,L · 1,0 m = 0
aufgelöst nach R
R = (FG,M · 1,2 m + FG,L · 1,0 m) / 4,5 m .
FG,M = 80,0 kg · 9,81 m/s2 = 785 N
FG,L = 20,0 kg · 9,81 m/s2 = 196 N
R = (785 N·1,2 m + 196 N·1,0 m) / 4,5m = 250 N
somit FR = 250 N
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Trägheitsmoment
τ
Ι
Das Drehmoment τ führt zu einer
Beschleunigung des Körpers.
Das Trägheitsmoment I wirkt einer
Änderung des Bewegungszustandes
entgegen
Zerlege Körper in Massenelemente
für das Massenelement m gilt
F = ma = m rα
Drehmoment (τ = F r )
τ = ( m r α ) r = m r2 α
Trägheitsmoment
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Beispiel: Schleifmaschine
Wie lange läuft der
Schleifstein nach einem
Motorausfall weiter ?
3000 Umdrehungen / min
Durchmesser 200 mm
Dicke
20 mm
Kraft
100 N
ω = ω0 + αt
ω0 = 2 π f
0.2 s
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