kartesisch
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Polarkoordinaten Zur Beschreibung von Kreisbewegungen sind kartesische Koordinaten unbeque Transformation von kartesisch zu polar r = (x2 + y2)1/2 , ϑ = arctan (y / x) . Transformation von polar zu kartesisch x = r cos ϑ, y = r sin ϑ. fh-pw Winkelmessung In Analogie zur linearen Bewegung: Winkelverschiebung Länge: ϑ = |ϑ − ϑ0| Ein Grad (1°) ist der 360-ste Teil eines vollen Kreises, also sind 360° ein voller Kreis. Ein Radiant (1 rad) ist der Winkel, bei dem die Länge des Kreisbogens so groß ist wie der Radius des Kreises. Ein Winkel von 2 rad ist somit in voller Kreis. ϑ = Bogenlänge / Radius oder s=rϑ 1 rad = 360° / (2 π) fh-pw Winkelgeschwindigkeit in Analogie zur linearen Bewegung ( v = dx/dt) Winkelgeschwindigkeit ω zeitliche Ableitung der Winkelverschiebung ϑ ω = dϑ ϑ/dt ω fh-pw Tangentialgeschwindigkeit Geschwindigkeit zeigt immer in tangentialer Richtung Tangentialgeschwindigkeit linear Verschiebung längst dem Kreisumfang v = d x / dt Eine infinitesimal kleine lineare Verschiebung dx ist gleich der entsprechenden Bogenlänge d s v = ds / d t Die Bogenlänge aber ist s = rϑ v = d(rϑ)/dt = ϑ dr/dt + r dϑ/dt erste Term trägt nicht bei (r = konstant) v = r dϑ/dt = r ω . fh-pw Winkelbeschleunigung Zentripetalbeschleunigung ändert die Richtung des Geschwindigkeitsvektors Winkelbeschleunigung ändert den Betrag des Geschwindigkeitsvektors analog zur linearen Bewegung (a = dv/dt) Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit α = dω/dt Tangentialbeschleunigung a=rα fh-pw Lineare Bewegung und Kreisbewegung Grundgrößen lineare Bewegung Kreis Bewegung Verschiebung x Geschwindigkeit v Beschleungigung a ϑ ω α kinematische Gleichungen fh-pw Rotation starrer Körper analogie zur linearen Bewegung fh-pw Drehmoment lineare Bewegung F = ma Drehbewegung τ=Ια Ι... ...Trägheitsmoment ... α...Winkelbschleunigung Drehmoment τ=rxF fh-pw Drehmoment (Vektorprodukt) das Dremeoment ist ein Vektor τ=rxF Betrag |ττ| = |r x F| = r F sin ϑ = r F⊥ | Drehmoment | = Länge des Hebelarms mal Kraftkomponente senkrecht zum Hebelarm fh-pw Gleichgewicht FG,M Eine Leiter der Masse 20,0 kg lehnt wie in der Abbildung gezeigt in einer Höhe von 4,50 m gegen eine glatte Wand. Ein Arbeiter mit der Masse 80,0 kg steigt auf die Leiter. Welche Reibungskraft muß zwischen der Leiter und dem Boden wirken, damit die Leiter nicht rutscht? FG,L Gleichgewicht Summer aller Kräfte = null Summe aller Momente = null fh-pw Lösung Summer der Kräfte Σ Fx = R - FR = 0 ΣFy = N - FG,M - FG,L = 0 oder R = FR , N = FG,M + FG,L Summe der Momente Στ = R · 4,5 m - FG,M · 1,2 m - FG,L · 1,0 m = 0 aufgelöst nach R R = (FG,M · 1,2 m + FG,L · 1,0 m) / 4,5 m . FG,M = 80,0 kg · 9,81 m/s2 = 785 N FG,L = 20,0 kg · 9,81 m/s2 = 196 N R = (785 N·1,2 m + 196 N·1,0 m) / 4,5m = 250 N somit FR = 250 N fh-pw Trägheitsmoment τ Ι Das Drehmoment τ führt zu einer Beschleunigung des Körpers. Das Trägheitsmoment I wirkt einer Änderung des Bewegungszustandes entgegen Zerlege Körper in Massenelemente für das Massenelement m gilt F = ma = m rα Drehmoment (τ = F r ) τ = ( m r α ) r = m r2 α Trägheitsmoment fh-pw Beispiel: Schleifmaschine Wie lange läuft der Schleifstein nach einem Motorausfall weiter ? 3000 Umdrehungen / min Durchmesser 200 mm Dicke 20 mm Kraft 100 N ω = ω0 + αt ω0 = 2 π f 0.2 s fh-pw
