Übungen zur Quantenphysik

Übungen Quantenphysik
Kernphysik
Ue QP 1
•
Historische Entwicklung der Atommodelle
2
•
Klassische Wellengleichung
5
•
Schrödinger Gleichung
6
•
Kastenpotential (Teilchen in einer Box)
8
•
Teilchen im Potentialtopf
10
•
Tunneleffekt
11
•
Unschärferelation
12
•
Unschärferelation, Nullpunktsenergie
14
fh-pw
Entwicklung der Atommodelle
Experiment zur
Bestimmung von q/m der
Elektronen
Atommodell von Thomson
(1909)
Kleine, leichte Elektronen
eingebettet in einer positiv
geladenen Masse
Streuexperiment von
α-Teilchen an einer
Goldfolie
Atommodell von
Rutherford
(1911)
Atomkern r ~ 10-15 m
Atomhülle mit Elektronen
mit r ~ 10-10 m
Bohrsches Atommodell
(1913)
e- auf Kreisbahnen
strahlungsfreie Bewegung
Bahndrehimpuls = nh/2π
Quantenmechanisches
Atommodell
(Schrödinger, 1926)
Diskrete Energien durch
stehende Wellen beschreiben (Wellenfunktion)
Photoelektrischer Effekt
(Energiequantelung)
Wasserstoffspektrum
Welleneigenschaften des
Elektrons (de Broglie)
Ue QP 2
fh-pw
Atommodelle von Thomson und Rutherford
Erwartung des Streuexperiments nach
dem Thomsonmodell
Atommodell von
Thomson
Atommodell von
Rutherford
Ue QP 3
• Der größte Teil der Atommasse konzentriert sich im
positiv geladenen Atomkern.
Der Durchmesser des Atomkerns (~10-15 m) ist sehr viel
kleiner als der Durchmesser
des Atoms (~10-10 m).
fh-pw
Bohrsches Atommodell
1 Elektronen bewegen sich auf (diskreten) Kreisbahnen mit Energien En. Lt.
klassischer Elektrodynamik müßte bei einer solchen beschleunigten Bewegung
jedoch Energie in Form von elektromagnetischen Wellen abgestrahlt werden!
2 Die Bewegung der Elektronen erfolt strahlungslos. Beim Übergang des Elektrons
von einem Energieniveau E1 zu einem niedrigerem Niveau E2 wird ein Photon mit
der Energie E=hf= E1- E2 freigesetzt.
3 Der Bahndrehimpuls der Elektronen darf nur diskrete (gequantelte) Werte
annehmen: mvr=nh/2π h=6,62 10-34 Js
Mit dem Bohrschen Atommodell konnte man das Spektrum des Wasserstoffatoms (und wasserstoffähnlicher Atome) berechnen.
Ue QP 4
fh-pw
Klassische Wellengleichung
Klassische Wellengleichung
∂2 y µ ∂2 y
=
2
∂x
F ∂t 2
Wellengleichung einer Saite (µ = Masse/Länge)
Auslenkung y(x, t ) = Asin(kx − ω t ) und ω = vk
∂2E 1 ∂2E
=
∂x 2 c 2 ∂t 2
Wellengleichung einer ebenen elektromagnetischen
Welle mit E = elektr. Feld, E y (x, t ) = E y0sin (kx − ω t ) und ω = ck
Kreisfrequenz ω = 2π f
Wellenzahl k = 2π λ
Nicht nur die Wellenfunktionen für harmonische Wellen A sin (kx − ω t ) oder A cos(kx − ω t )
sind Lösungen der Wellengleichung, sondern auch komplexwertige Funktionen y(x, t ) = Aei (kx −ω t )
(
)
Es gilt : eiφ = cos φ + i sin φ , i = − 1 . Realteil und Imaginärteil erfüllen die Wellenfunktion
Für die klassische Wellengleichung besitzt nur der Realteil der Wellenfunktion eine
physikalische Bedeutung!
Ue QP 5
fh-pw
Schrödinger-Gleichung
= eine Wellengleichung zur Beschreibung massenbehafteter Teilchen
Die Gesamtenergie eines Teilchens mit Masse m und potentieller Energie V ist gegeben
mv2
p2
+V =
+V
durch : E =
2m
2
h
de Broglie : E = hf =
ω = Dω und E = pc → p = h/λ = Dk sowie c = λf
2π
p2
D 2k 2
E=
+ V → Dω =
+V
2m
2m
∂
∂2
2
Wellenfunktion Ψ (x, t) = e
: ω erhält man durch Ψ (x, t), k durch 2 Ψ (x, t)
∂t
∂x
D 2 ∂ 2Ψ(x, t )
∂Ψ(x, t )
(
)
(
)
V
x,
t
Ψ
x,
t
i
−
+
=
D
zeitabhängige Schrödinger - Gleichung
2
2m ∂x
∂t
D 2 ∂ 2Ψ(x )
−
+ V(x ) Ψ(x ) = E Ψ(x )
zeitunabhängige S.Gl. über : Ψ(x, t ) = Ψ(x ) e −i ω t
2
2m ∂x
i ( kx -ωt )
Ue QP 6
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Schrödinger-Gleichung
Die Wellenfunktion Ψ(x, t ) beschreibt eindeutig den Zustand eines Systems.
Die Wellenfunktion selbst hat keine anschauliche Bedeutung!
Ψ(x, t )
2
jedoch entspricht einer Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte
eines Teilchens zum Zeitpunkt t.
Schrödinger, 1927
Die Lösungen der zeitabhängigen Schrödinger - Gleichung können komplexwertig sein.
Die Wellenfunktion Ψ(x ), (= Lösungen der zeitunabhängigen Gleichung) können jedoch
immer reell gewählt werden,
z.b. als Kombination von sin und cos - Funktionen : Asin(kx) + Bcos(kx)
Ue QP 7
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Kastenpotential („Teilchen in einer Box“)
Klassisches Teilchen mit
Geschwindigkeit v im (unendlich
hohen) Potentialtopf:
• Impuls und Energie bleibt erhalten
• Impuls und Energie können beliebige
Werte annehmen
Quantenmechanik (zeitunabh. Schrödinger-Gl.):
Aufgrund des unendlich hohen Potentialtopfes ist die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit nur im Topf ungleich Null
Randbedingungen bestimmen die Lösungen für Ψ
Ψ(x ) = Asin(kx) + Bcos(kx)
Ψ(x ) = 0 für x ≤ 0 und x ≥ L → nur Asin(kx) möglich
π
D 2 k 2n
Ψ(L ) = 0 → k n = n
mit n = 1, 2, 3, ... nur Energiewerte E n =
möglich
L
2m
Ue QP 8
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Kastenpotential („Teilchen in einer Box“)
Ψ8
n=8
2
Quantenmechanik:
• Energie ist quantisiert
Ψ2
2
Ψ1
2
n=2
n=1
0
x
Quantenmechanische
Wahrscheinlichkeitsdichte
Ue QP 9
L
D 2 k 2n
En =
2m
• Niedrigste Energie > 0 !
Es gibt kein ruhendes
Teilchen in einem Kastenpotential
• Für große Quantenzahlen n nähert man sich
der klassischen
Mechanik, d.h. die
Aufenhaltswahrscheinlich
keit ist überall im Kasten
gleich groß.
fh-pw
Teilchen im Potentialtopf
Lösen der Schrödinger-Gleichung für die Bereiche I, II, und III
(Stetigkeitsbedingungen an den Übergängen):
Es gibt eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit auch in
den Bereichen außerhalb des Potentialtopfes!
Ue QP 10
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Tunneleffekt
Teilchen kann quantenmechanisch mit endlicher
Wahrscheinlichkeit eine Potentialbarriere
durchdringen (nicht jedoch lt.klassischer Theorie)
Tunneleffekt lieferte eine Erklärung für die
Bandbreite von Halbwertszeiten beim α-Zerfall in
radioaktiven Kernen gefunden (Zunahme der
Halbwertszeiten mit fallender Energie der αTeilchen. 4 - 7 MeV bzw. 10-5 bis 1010 Jahre)
Anwendung: Rastertunnelmikroskop
Web Ausstellung der ZB für Physik zum Schaffen von Erwin Schrödinger: www.zbp.univie.ac.at/schrodinger/uebersicht.htm
Java Applets zur Schrödinger-Gleichung: www.neti.no/java/sgi_java/WaveSim.java
www.rz.uni-karlsruhe.de/~uage/Einleitung.htm
Ue QP 11
fh-pw
Unschärferelation
Ψ(x, t ) = Wahrscheinlichkeit, zu einem Zeitpunkt t ein Teilchen am Ort x zu finden
2
(Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte)
D
D
æ
ö
Heisenberg : ∆x∆p ≥
ç ≥ → Unschärfe kann natürlich auch größer als sein!÷
2
2
è
ø
Ort und Impuls eines Teilchens lassen sich nicht beliebig genau gleichzeitig messen
∆E∆t ≥
D
2
Unschärferelation für Energie und Zeit
∆t ≠ Unschärfe einer Messung von Zeitpunkten
∆t = z.B. Aufenthaltsdauer eines Teilchens in der Umgebung des Ortes x,
oder Zeitspanne für die Energiemessung eines Teilchens
∆t = bei instabilen Zuständen die mittlere Lebensdauer des Zustandes
Ue QP 12
fh-pw
Unschärferelation: Gedankenexperiment
Orts- und Impulsmessung eines Teilchens (Masse sei bekannt)
• Ort zu verschiedenen Zeiten messen →Geschwindigkeit
• Ortsmessung mit em Strahlung: Beugungseffekte →Position nur mit der Ungenauigkeit
der Wellenlänge der Strahlung bestimmbar
• Kleinere Wellenlänge wählen →weniger Einflüsse durch Beugungseffekte
• Aber: Impulsübertragung durch em Strahlung →Ungenauigkeit der Impulsmessung
• Impuls der em Strahlung mit h/λ quantisiert
• Für Ortsmessung muß mindestens ein Photon gestreut werden, um Teilchen überhaupt
zu detektieren
• kleine Wellenlänge notwendig um gute Ortsauflösung zu erhalten
• gleichzeitig jedoch große Unschärfe bei der Impulsmessung (oder umgekehrt)
Ue QP 13
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Unschärferelation - Nullpunktsenergie
Eine Auswirkung der Unschärferelation ist die Forderung nach einer minimalen
kinetischen Energie eines eingeschlossenen Teilchens.
Beispiel: Kastenpotential (eindimensional), Länge L, die maximale Ortsunschärfe kann
nur L betragen. Daher gilt:
∆p∆x ≥
D
D
→ ∆p ≥
2
2L
Die Größe des Impulses muß mindestens so groß wie die Impulsunschlärfe sein, daher
gilt für die kinetische Energie:
Ekin
mv 2 p 2
D2
D2
=
=
≥ 2 2
= 2
2
2m 2 L 2m 8 L m
Diese Energie stellt lt. Unschärferelation die kleinst mögliche Energie dar, die ein
Teilchen in einem Kastenpotential mit Breite L haben kann.
Anm.: der exakte Wert der Nullpunktsenergie für ein 1dim. Kastenpotential ist um den
Faktor 4π größer
Ue QP 14
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