1. Teilchen im elektromagnetischen Feld (insg. 6

Quantenmechanik SS 2008 (Hausübung 3)
(abzugeben am Dienstag, den 29.04.2008)
1. Teilchen im elektromagnetischen Feld (insg. 6 Punkte)
(siehe Hausübung 2)
Für ein Teilchen mit der elektrischen Ladung q in einem externen elektroma~ r, t) gilt die Schrödingergleichung
gnetischen Feld mit Potentialen Φ(~r, t) und A(~
µ
¶
1 ~ˆ 2
P + qΦ ψ = i~ ∂t ψ,
2m
(1)
ˆ
~ − qA
~ der Impulsoperator des kanonischen Impulses ist.
wobei P~ = −i~∇
(b) Kontinuitätsgleichung (4 Punkte)
Zeigen Sie, dass für Lösungen ψ der Schrödingergleichung des Elektrons
im elektromagnetischen Feld (1) ebenfalls die Kontinuitätsgleichung gilt,
nämlich
´
1 ³ ∗ ~ˆ
ˆ ∗
~
~
~
~
∂t |ψ| + ∇ · J = 0 mit J =
ψ P ψ + ψ(P ψ) .
2m
2
ˆ
~ − qA
~ der Operator des kanonischen
Beachten Sie, dass hier P~ = −i~∇
Impulses ist.
(c) Eichverhalten des Wahrscheinlichkeitsstroms (2 Punkte)
Zeigen Sie, dass der Wahrscheinlichkeitsstrom J~ unter Eichtransformation,
d.h.
~→A
~0 = A
~ + ∇χ(~
~ r, t),
φ → φ0 = φ − ∂t χ(~r, t) und A
und somit
q
ψ(~r, t) → ψ 0 (~r, t) = ψ(~r, t) ei ~ χ(~r,t) ,
invariant ist.
2. Ehrenfestsches Theorem (insg. 6 Punkte)
(a) (3 Punkte)
Berechnen Sie die Zeitentwicklung für den Erwartungswert des Impulses h~p i,
d.h. bestimmen Sie d hp~ˆ i für allgemeine Potentiale V (~r ). Vergleichen Sie das
dt
Ergebnis mit der klassischen Bewegungsgleichung.
(b) (3 Punkte)
Berechnen Sie
q die Zeitentwicklung für die Varianz des Impulserwartungswerts ∆p = h(p~ˆ − hp~ˆ i)2 i für allgemeine Potentiale V (~r ). Betrachten Sie
den Spezialfall V (~r ) = mgz und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem klassischen Verhalten zweier Teilchen mit Impulsdifferenz ∆p.
3. Teilchen im dreidimensionalen Kasten (insg. 6 Punkte)
Für ein Teilchen im dreidimensionalen Kasten ist der Hamiltonoperator gegeben
durch:


|x| < a/2,





0 für |y| < b/2,
1 2
Ĥ =
(p̂x + p̂2y + p̂2z ) + V̂ (x, y, z), V (x, y, z) =

2m
|z| < c/2




 ∞ sonst.
(a) (3 Punkte)
Welcher Ansatz ψ(x, y, z) für die stationäre Lösung führt das Problem auf
den eindimensionalen Fall zurück? Berechnen Sie die Eigenfunktionen und
Eigenwerte des Hamiltonoperators Ĥ.
(b) (3 Punkte)
Erstellen Sie ein Energieschema, in das Sie die 5 niedrigsten Energieeigenwerte des Teilchens mit Angabe der Quantenzahlen eintragen. Betrachten
Sie den Fall, dass (I) alle Kanten gleich lang sind (a = b = c) und (II) sich
die Kantenlängen verhalten wie 3:4:5 (a/3 = b/4 = c/5).