03.06.2009

Die Kapazität
Aufladbare Systeme und Kapazität:
• Für Systeme, die bei Anlegen einer Spannung U eine
Ladung Q speichern können, gilt stets
Q∝U
⇒
C = Kapazität =
Q
U
C
A2 s4
[C] =
=
= F = Farad
V
kg m2
(Einheit benannt nach Michael Faraday, 1791–1867).
• Beispiele:
Plattenkondensator:
Metallkugel, Radius r:
ǫ0 A
d
C =4πǫ0 r
C=
Zahlenbeispiel, Vielfache von Farad:
• Kapazität eines Plattenkondensators
mit d = 1 mm und A = 100 cm2 :
2 4
ǫ0 A
−12 A s
C=
= 8.854 × 10
· 10 m
d
kg m3
= 8.854 × 10−11 F
• Kapazitäten sind meist winzige Bruchteile von 1 F
⇒ typische Einheiten:
1 pF = 10−12 F
(Pikofarad)
1 nF = 10−9 F
(Nanofarad)
1 µF = 10−6 F
(Mikrofarad)
5 Statische elektrische Felder
03. Juni 2009
Hintereinander- und
Parallelschaltung von Kapazitäten
Hintereinanderschaltung:
• Maschenregel:
U0 = U1 + U2 + U3
• Alle Ladungen sind
gleich:
C1 , U1
+ U
0
-
Q1 = Q2 = Q3 = Q
• Gesamtkapazität
(allgemeiner Fall):
C2 , U2
ungeladen
C3 , U3
n
X 1
U0
1
=
=
Ctot
Q
C
i=1 i
Parallelschaltung:
C1 , Q1
• Maschenregel:
U0 = U1 = U2 = U3
C2 , Q2
• Gesamtladung:
Qtot = Q1 + Q2 + Q3
C3 , Q3
• Gesamtkapazität
(allgemeiner Fall):
5 Statische elektrische Felder
+
Ctot
-
n
X
Qtot
=
=
Ci
U0
i=1
U0
03. Juni 2009
Energiedichte im elektrischen Feld
Elektrische Arbeit beim
Aufladen eines Kondensators:
• Um bei Spannung U in einem Kondensator die
Ladung um ∆Q zu erhöhen, ist eine Arbeit
∆Wel = U · ∆Q = (Q/C) · ∆Q notwendig.
• Integration über Gesamtladung:
Wel =
ZQ
0
Q2
1
Q′ dQ′
=
= CU 2 .
C
2C
2
• Dieses Ergebnis gilt für jedes aufladbare System!
Energiedichte:
• Mit C = ǫ0 A/d und U = Ed
(Plattenkondensator mit Fläche A und Abstand d):
ǫ0AE 2d2
1
1
2
= ǫ0 |{z}
Ad E 2 .
Wel = CU =
2
2d
2 =V
• Energiedichte:
1
Wel
= ǫ0E 2 ;
[wel ] = J/m3 .
V
2
• wel ist die Energie pro Volumen, die zur Erzeugung
des Feldes (der felderzeugenden Ladungsverteilung)
aufzubringen ist.
• Das Ergebnis
1
wel = ǫ0 E 2
2
gilt unabhängig von
– der Gestalt des Feldes
– der Art seiner Erzeugung.
wel =
5 Statische elektrische Felder
03. Juni 2009
Isolatoren im elektrischen Feld
Experimentelle Beobachtung:
• Bringt man bei fester Ladung Q einen Isolator in das
Feld eines Plattenkondensators, so nimmt die
Spannung am Kondensator ab:
d
d
Q
leer:
Isolator:
U=U0
E=E 0
U<U0
E<E 0
U
U
• Die Kapazität nimmt zu:
C=
Q
Q
> C0 =
U
U0
• Die Feldänderung wird durch die
Dielektrizitätskonstante ǫ > 1 beschrieben:
U =U0/ǫ = E0d/ǫ
E =E0/ǫ
A
C =C0 · ǫ = ǫǫ0
d
• Im Vakuum ist ǫ = 1, in Luft ǫ ≈ 1.0005
⇒ Luft ist für elektrische Felder “fast wie Vakuum”.
5 Statische elektrische Felder
03. Juni 2009
Polarisationsladungen
Induzierte Ladungsverschiebung:
• Im Isolator gibt es keine freien Ladungsträger, aber
in jedem Atom können die positiven und negativen
Ladungen gegeneinander verschoben werden:
−
−
−
− + −
−
−
− −
−
−
−
− d +
− −−
− −
r− =r+
r+ −r− =d
E
• Durch die Kraftwirkung des elektrischen Feldes
werden die Ladungsschwerpunkte
P
(±)
Q
~
ri
~
r± = Pi i (±)
i Qi
um eine Strecke d~ in Feldrichtung getrennt.
Polarisations-:
Ladungsdichte:
• Im Isolator (“Dielektrikum”)
bilden sich geladene
Oberflächenschichten.
• Ladungsdichte:
σpol =
1
N Ad QZ = N dQZ
A |{z}
=V
N = Zahl d. Atome/Volumen
QZ = Kernladung
5 Statische elektrische Felder
negative
Polarisationsladungen
σ pol=Q pol /A
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1111111111111111
0000000000000000
000000000000000
111111111111111
0000000000000000−
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
000000000000000
111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
−
0000000000000000
1111111111111111
000000000000000
111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
000000000000000
111111111111111
0000000000000000−
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
000000000000000
111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
000000000000000
111111111111111
0000000000000000−
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
000000000000000
111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
−
elektrisch
0000000000000000
1111111111111111
000000000000000
111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
neutral
−
0000000000000000
1111111111111111
000000000000000
111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
000000000000000
111111111111111
0000000000000000−
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
000000000000000
111111111111111
0000000000000000−
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
000000000000000
111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
000000000000000
111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
−
0000000000000000
1111111111111111
000000000000000
111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
000000000000000
111111111111111
0000000000000000−
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
000000000000000
111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
d
d
positive
Polarisationsladungen
σ pol=Q pol /A
03. Juni 2009
Polarisation, Suszeptibilität und
Dielektrizitätskonstante
Polarisation:
• Die Polarisations-Flächenladungsdichte kann als
Vektor dargestellt werden:
As
~ = (N QZ d) · Ê ;
Polarisation = P
[P ] =
.
m2
• Im allgemeinen ist QZ d ∝ E:
Asm2
QZ d = αE ; α = Polarisierbarkeit; [α] =
V
Feld im Dielektrikum:
• Das Vakuum-Feld wird durch die PolarisationsLadungen reduziert:
P
σ − σpol
= EVak −
EDiel =
ǫ0
ǫ0
1
= EVak − N αEDiel = EVak − χEDiel
ǫ0
Nα
χ = el. Suszeptibilität =
; [χ] = 1
ǫ0
• Insgesamt: EDiel (1 + χ) = ǫEDiel = EVak
• Das elektrische Feld im Dielektrikum ist um
1/ǫ = 1/(1 + χ) schwächer als im Vakuum.
• Die Suszeptibilität ist direkt mit atomaren
Eigenschaften verknüpft (materialabhängig!)
Luft, Normalbedingungen
Benzol
Wasser
Quarzglas
Keramik
5 Statische elektrische Felder
ǫ = 1.000576
ǫ = 2.3
ǫ = 81
ǫ = 3.75
ǫ bis ∼ 1000
03. Juni 2009
Elektrisches Feld in Dielektrika
Elektrische Verschiebungsdichte:
~ r ) beschreibt
Die elektrische Verschiebungsdichte D(~
das elektrische Feld, das von den äußeren Ladungen
ρ(~
r ) erzeugt wird und somit “die Ladungen im
Dielektrikum verschiebt”:
~ = ǫǫ0 E
~;
el. Verschiebungsdichte = D
[D] =
As
.
m2
Elektrische Felder in Dielektrika:
• Grundregel:
~ r ) wird wie im Vakuum aus
Das elektrische Feld E(~
den freien Ladungen (d.h. ohne Berücksichtigung der
Polarisationsladungen) berechnet, aber mit der
Ersetzung
ǫ0 → ǫǫ0 .
• Beispiele:
– Coulomb-Feld:
~ r) =
E(~
Q
1
r
· 3 ·~
4πǫǫ0 r
– 1. Maxwellsche Gleichung:
~ r) =
divE(~
1
ρ(~
r)
ǫǫ0
⇒
~ r ) = ρ(~
divD(~
r).
– Energiedichte des elektrischen Feldes:
wel =
5 Statische elektrische Felder
1~ ~
1
ǫǫ0E 2 = D
·E
2
2
03. Juni 2009
Elektrische Dipole
Das elektrische Dipolmoment:
−Q
+Q
−
+
d
• Elektrischer Dipol = Anordnung zweier
ungleichnamiger Ladungen gleichen Betrages
in einem festen Abstand d
• Das elektrische Dipolmoment ist definiert als
p
~ = Q d~ ;
[p] = Asm .
Dipol im elektrischen Feld:
• Kraft im homogenen Feld:
+Q
~tot = F
~+ + F
~− = 0
F
+
• Drehmoment im hom. Feld:
~ = (~
~+ ) + (~
~−)
M
r+ × F
r− × F
h
i
~
= Q · (~
r+ − ~
r− ) × E
~ =p
~
= Q · (d~ × E)
~×E
d
F+
θ
E
r
−
F−
−Q
r−
r+
• Potentielle Energie im homogenen Feld:
~ = −pE cos θ
Epot = −~
p·E
~ = E(x)x̂):
• Kraft im inhomogenen Feld (für E
h
i
~
~
~tot = F
~+ + F
~− = Q · E(~
~ r + d/2)
~ r − d/2)
F
− E(~
d
dE(x)
dE(x)
= Q · 2 · cos θ
= p cos θ
2
dx
dx
5 Statische elektrische Felder
03. Juni 2009