Direkte Proportionalität
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M 8.1 Direkte Proportionalität Zwei einander zugeordnete Größen und sind (direkt) proportional, wenn zum -fachen Wert von der -fache Wert von gehört. der Quotient für alle Wertepaare gleich ist. („Quotientengleichheit“; q: Proportionaliätsfaktor) ist. der Graph der Zuordnung eine Ursprungsgerade ist. Ananas kosten Wie viel kosten Die Zuordnung Dreisatz Ananas? ist proportional. oder fwg Proportionalitätsfaktor M 8.2 Indirekte Proportionalität fwg Zwei einander zugeordnete Größen und sind indirekt (oder „umgekehrt“) proportional, wenn zum -fachen Wert von der -fache Wert von gehört. das Produkt für alle Wertepaare gleich ist. („Produktgleichheit“) ist. der Graph der Zuordnung eine Hyperbel ist. Mit gleichen Schläuchen ist ein Schwimmbecken in 2,5 Stunden gefüllt. Wie lange dauert es mit solchen Schläuchen? Die Zuordnung Dreisatz ist indirekt proportional. oder M 8.3 fwg Funktionsbegriff Eine Zuordnung , die jedem Wert für zuordnet, heißt Funktion. jeweils nur genau einen Wert für Der von abhängige Wert bzw. heißt Funktionswert. Die Menge aller zulässigen -Werte heißt Definitionsmenge . Die Menge aller möglichen Funktionswerte heißt Wertemenge Keine Funktionen Funktion: x Schreibweisen: . Graph: M 8.4 Umfang fwg Umfang und Flächeninhalt eines Kreises Flächeninhalt → Der Durchmesser ist direkt proportional zum Umfang . ist der Proportionalitätsfaktor. Kreiszahl ( ist keine rationale Zahl) [„Kreis um ⇒ mit Radius ] M 8.5 Lineare Funktionen Funktionsgleichung: Steigung Graph: -Achsenabschnitt Gerade mit der Steigung durch den Punkt Ein -Wert, für den der Funktionswert Null ist, heißt Nullstelle. Zeichne den Graphen der Funktion . Markiere den Punkt Trage von dort den Nenner von in -Richtung ab und trage dann den Zähler von in -Richtung ab. . fwg M 8.6 Aufstellen der Geradengleichung Ansatz: 1. Schritt: Bestimme die Steigung 2. Schritt: Bestimme den -Achsenabschnitt Bestimme den Funktionsterm der linearen Funktion, deren Graph durch die Punkte und verläuft. Ansatz: 1. Schritt: 2. Schritt: Setze nach t auf: oder in ein und löse die Gleichung fwg M 8.7 Lineare Ungleichungen fwg Ungleichungen kann man wie Gleichungen schrittweise vereinfachen. Vorsicht: Bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um! Die Lösungsmenge kann man in Mengen- oder Intervallschreibweise angeben. M 8.8 Lineare Gleichungssysteme I fwg Zwei lineare Gleichungen mit zwei gleichen Variablen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen. Die Gleichungen lassen sich durch Geraden graphisch darstellen (→ Auflösen nach ). eine Lösung keine Lösung Unendlich viele Lösungen M 8.9 Lineare Gleichungssysteme II Graphische Lösung Einsetzungsverfahren in : Gleichsetzungsverfahren Additionsverfahren fwg M 8.10 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung fwg Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, bei dem die möglichen Ergebnisse bekannt sind, das eintretende Ergebnis aber nicht vorhergesagt werden kann. Die Menge aller möglichen Ergebnisse nennt man Ergebnismenge Eine Teilmenge der Ergebnismenge nennt man Ereignis. Zählprinzip Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment erhält man die Gesamtzahl der verschiedenen Möglichkeiten, indem man die Anzahlen der verschiedenen Möglichkeiten in den einzelnen Stufen multipliziert. Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs Personen auf sechs Stühlen anzuordnen? M 8.11 Laplace-Experimente fwg Zufallsexperimente, bei denen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, heißen Laplace-Experimente. Einmaliger Würfelwurf , Einmaliger Münzwurf , M 8.12 Gebrochen rationale Funktionen – Bruchterme Terme, bei denen eine Variable im Nenner auftritt, heißen Bruchterme. Funktionen, deren Funktionsterm ein Bruchterm ist, heißen gebrochen rationale Funktionen. Ihr Graph ist eine Hyperbel. Für die Variablen dürfen keine Zahlen eingesetzt werden, für die der Nenner null wird. Diese Zahlen nennt man Definitionslücken. Sie gehören nicht zur Definitionsmenge der Funktion. Geraden, an die sich der Graph annähert, nennt man Asymptoten. fwg M 8.13 Gebrochen rationale Funktionen – Bruchterme Zwei wichtige Vertreter: und Die Koordinatenachsen sind die Asymptoten der beiden Funktionen. Gf ist punktsymmetrisch zu (0|0). Gg ist achsensymmetrisch zur y-Achse. : fwg Gebrochen rationale Funktionen – Bruchterme M 8.14 Verschiebung von Funktionsgraphen: f (x a) b 1 b x a Verschiebung in x – Richtung Verschiebung in ____________________ y-Richtung Der Graph zu h(x) 1 1 x2 ist gegenüber dem der Funktion f (x) 1 x um 2 LE nach links und um 1 LE nach oben verschoben. fwg M 8.15 Rechnen mit Bruchtermen Kürzen Zähler und Nenner faktorisieren Gleiche Terme kürzen Nie aus Summen kürzen! fwg Addieren und Subtrahieren Bruchterme gleichnamig machen Zähler addieren/subtrahieren Multiplizieren Dividieren Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner Multiplizieren mit dem Kehrbruch M 8.16 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten fwg für jede natürliche Zahl Faktoren für jede natürliche Zahl , für jede rationale Zahl ; ; Gleitkommadarstellung gibt an, um wie viele Stellen man das Komma verschieben muss ; M 8.17 fwg Rechnen mit Potenzen Multiplizieren Dividieren Hochzahlen addieren Hochzahlen subtrahieren Potenzieren einer Potenz Potenzieren von Produkten und Quotienten Hochzahlen multiplizieren Vorsicht: Hochzahlen verteilen →kein Verteilen der Hochzahlen bei Summen M 8.18 Bruchgleichungen 1. Schritt: Definitionsmenge bestimmen 2. Schritt: Beide Seiten mit dem gemeinsamen Nenner aller Bruchterme multiplizieren und anschließend kürzen 3. Schritt: Bruchtermfreie Gleichung lösen 4. Schritt: Überprüfen, ob die Lösung zur Definitionsmenge gehört 5. Schritt: Lösungsmenge angeben fwg M 8.19 fwg Strahlensätze V-Figur X-Figur 1. Strahlensatz 1. Strahlensatz 2. Strahlensatz 2. Strahlensatz M 8.20 Ähnliche Figuren fwg Zwei Figuren und heißen ähnlich ( ), wenn man so vergrößern oder verkleinern kann, dass die Bildfigur zu kongruent ist. Für ähnliche Figuren gilt: entsprechende Winkel sind gleich groß die Verhältnisse entsprechender Streckenlängen sind gleich Dreiecke sind ähnlich, wenn bereits eine der beiden Eigenschaften erfüllt ist.
