z⋅β - BFH-TI Staff

E2 / Physik / Wellen
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I. Typen von Wellen und ihre Beschreibung
I.1. Wellenfunktion, Parameter der Wellenausbreitung
Wellen werden durch Wellenfunktionen (= Lösungen einer Wellengleichung) beschrieben. Diese
werden hier nicht mathematisch hergeleitet, sondern durch eine physikalische Überlegung. Wir
beschränken uns auf die einfachste Form, die harmonische Welle.
Die Grundüberlegung ist, dass beim Ausbreiten der Schwingung
der einzelne Schwinger (am Ort z) eine harmonische Bewegung in der Zeit ausführt,
dass sich als Momentaufnahme (zur Zeit t) auch eine harmonische Schwingung im Raum ergibt .
y(t)
y(z)
t
am Ort z:
y(t) = A e
+jωt
z
zur Zeit t:
y(z) = A e
+jβz
ω = 2π / T
β = 2π / λ
T = zeitliche Periode
λ = räumliche Periode , Wellenlänge
Die Grösse β heisst "Wellenzahl". Sie wird häufig, vor allem in der Optik als „k“ bezeichnet.
Sie bestimmt die Frequenz im Raum, so wie ω die Frequenz im zeitlichen Ablauf definiert.
β
wird auch als "Wellenvektor" definiert, dessen Betrag die Wellenzahl und dessen Richtung
die Ausbreitungsrichtung der Welle ist. In einem beliebigen Koordinatensystem, dessen
Achse nicht mit der Ausbreitungsrichtung der Welle zusammenfallen muss, lässt sich dann
β ⋅z
anstelle von β z schreiben.
In der Infrarotspektroskopie ist es üblich, als "Wellenzahl" den Ausdruck 1/λ zu bezeichnen,
-1
anstelle von 2π / λ . 1/λ in cm ist dort die übliche Abszisse für Spektren.
Eine Wellenfunktion muss beide Aspekte berücksichtigen: harmonische Schwingung in der Zeit und
harmonische Schwingung im Raum. Das lässt sich erreichen durch Kombinationen der beiden eFunktionen (wobei noch ein Term Φ0 im Argument addiert werden kann, um die Phase in Bezug auf
den gewählten Anfangspunkt festzulegen):
y(z,t) = A e
+jωt
e
+jβz
=
A e
+ j (ω t + β z)
und daraus die wichtigsten Kombinationen:
y(z,t) = A e
y(z,t) = A e
+ j (ω t - β z + Φ0)
+ j (ω t + β z + Φ0)
laufende Welle in (+ x) - Richtung
laufende Welle in (- x) - Richtung.
y(z,t) = a cos (ω t + Φ1) cos (β z + Φ2)
oder
y(z,t) = a sin (ω t + Φ1) sin (β z + Φ2)
"stehende Welle"
Stefan Stankowski
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Was sagen diese mathematischen Ausdrücke aus? Betrachten wir zunächst die
laufende Welle:
Weg während einer Schwingung
λ
Ausbreitungsgeschwindigkeit c = --------------------------------------------- = ----- = λ f
Zeit für eine Schwingung T
ω
ω
c = λ ---- = --2π
β
Damit lässt sich das Argument der e-Funktion bei der laufenden Welle auch schreiben:
ωt - β z
=
ω ( t - z / c)
z / c ist gerade die Zeitverschiebung, mit der die Erregung beim Punkt z anlangt. Wenn die
Schwingung bei z = 0 mit einer gegebenen Phase erfolgt, so erfolgt sie bei einem anderen z mit einer
um die Laufzeit z/c verzögerten Phase.
Beachten Sie, dass das "overall"-Vorzeichen des Arguments keine Rolle spielt. Manche Autoren
schreiben lieber (β z - ω t) statt (ω t - β z). Da ohnehin der Realteil zu nehmen ist, also der Cosinus des
Arguments, und dieser vom Vorzeichen des Arguments unabhängig ist, spielt dieser Unterschied keine
Rolle.
Wichtig ist aber das relative Vorzeichen zwischen dem zeitlichen Anteil ωt und dem räumlichen Anteil
βz. Es gibt an, ob die Welle in positiver oder in negativer z-Richtung läuft.
In manchen Anwendungen separiert man den Zeitanteil:
y (z, t) = ( A e
-jβz
) e
jωt
und betrachtet den Ausdruck in der Klammer als
ortsabhängige komplexe „Amplitudenfunktion“ A(z).
Falls die Welle auf ihrem Weg noch absorbiert wird (Details siehe später), nimmt die
Amplitude exponentiell ab und die Amplitudenfunktion wird
A (z) = A e
-αz
e
-jβz
= A e
- (α + j β) z
Stehende Welle:
Eine spezielle Lösung der Wellengleichung führt zu einer Separierung der reellen zeitlichen und
räumlichen Funktionen. An einer gegebenen Stelle z läuft dann immer die gleiche zeitliche
Schwingung ab (beschrieben durch cos (ωt + Φ1) ), mit einer positionsabhängigen Amplitude
A cos (β z + Φ2).
Solche stehenden Wellen lassen sich z.B. auf beidseitig eingespannten Saiten (Gitarre, Violine etc.)
erzeugen oder mit in Rohren eingeschlossenen Luftsäulen (Blasinstrumente), aber auch mit
elektromagnetischen Wellen zwischen Reflektoren. Die genaueren Bedingungen werden weiter unten
im Zusammenhang mit Reflexionen an Grenzflächen behandelt (Abschnitt 5). Die
Reflexionsbedingungen legen die folgenden wichtigen Randbedingungen fest:
Einspannungspunkte: Knotenpunkte der stehenden Welle
Freie Enden:
Bäuche der stehenden Welle.
Damit die Wellenfunktion diese Randbedingungen erfüllt,
sind nur ganz bestimmte Frequenzen erlaubt, wobei die
entsprechende Wellenlänge zur vorgegebenen Geometrie
"passt" .
Stehende Wellen sind die Normalschwingungen des
gekoppelten Systems, das die Welle ausbreitet.
Stefan Stankowski
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I.2. Longitudinal- und Transversalwelle
Eine erregte Schwingung kann in beliebiger Raumrichtung erfolgen. Schwingen die Teilchen entlang
derselben Achse, auf der sich die Welle ausbreitet, so spricht man von einer Longitudinalwelle
(Längswelle), schwingen sie senkrecht zu dieser Achse, so spricht man von einer Transversalwelle
(Querwelle).
Im Innern von Flüssigkeiten und Gasen können nur Longitudinalwellen erzeugt werden (Schall). An der
Oberfläche von Flüssigkeiten können wegen der Oberflächenspannung Querwellen entstehen (die
typischen Wasserwellen an der Oberfläche ds Meers).
Festkörper können sowohl Longitudinalwellen (Druckwellen) als auch Transversalwellen (Scherwellen)
ausbreiten, Bei Erdbeben kommen beide Varianten vor. Da sie sich verschieden schnell ausbreiten,
erlaubt die Messung der Zeitdifferenz, Aufschluss über den Abstand des Epizentrums zu gewinnen.
Schall
- Longitudinalwelle
em. Welle
- Transversalwelle
Freie elektromagnetische Wellen sind Transversalwellen.
Der magnetische Vektor schwingt dabei senkrecht
zum elektrischen Vektor. Als Schwingungsrichtung der
Welle (Polarisationsrichtung) wird immer die Richtung
des elektrischen Feldstärkevektors angegeben.
In Leitern (Hohlleiter, Laserresonator) können auch Longitudinalanteile des elektromagnetischen Felds entstehen.
Longitudinalwellen werden ebenfalls durch eine Wellenfunktion y(z,t) dargestellt, wobei aber die y-Richtung und die
z-Richtung identisch sind. Mit z wird die Position des betrachteten Teilchens in der Gleichgewichtslage
bezeichnet, mit y wird seine Auslenkung aus der Gleichgewichtslage während der Schwingung
bezeichnet.
Die folgende Tabelle gibt Ausbreitungsgeschwindigkeiten verschiedener Wellen in verschiedenen
Medien an.
Von speziellem Interesse ist der Faktor κ der bei der
Schallausbreitung in Gasen auftritt. Er hängt von der
Natur des Gases ab und hat den Wert κ = 1.4 in Luft
und anderen zweiatomigen Gasen. (κ = 1.67 in einatomigen Gasen, z.B. Edelgasen, siehe Tabelle für andere Gase unter dem Stichwort "Isentropenexponent" oder
"Adiabatenexponent"). Dieser Faktor hängt mit der Tatsache zusammen, dass die Schallschwingung so schnell
ist, dass dabei Erwärmungs- und Abkühlungsprozesse
auftreten, ohne dass sich ein Temperaturausgleich mit
der Umgebung einstellen kann (isentroper oder adiabatischer Vorgang).
Beachte: für ein ideales Gas hängt der Quotient p/ρ
nur von der Temperatur T ab! Zeigen Sie das selbst!
In all diesen Ausdrücken ist der Zähler mit der Kraft
verknüpft, der Nenner mit der Masse (Dichte).
Erinnern Sie sich, dass für einen elektrischen Schwingkreis die inverse Kapazität, 1/C (verknüpft mit 1/ ε0),
die Federkraft repräsentiert, während die Induktivität,
L (verknüpft mit µ0) die Trägheit (Masse) repräsentiert.
Stefan Stankowski
Welle
Ausbreitungsgeschwindigkeit
Longitudinalwelle
c2 =
in einem Gas
Longitudinalwelle
c2 =
in einer Flüssgkeit
Longitudinalwelle
c2 =
in einem Stab
Torsionswelle in
c2 =
einem zylindr. Stab
2
Welle auf einer
c =
Saite
elektromagn. Welle c2 =
im Vakuum
elektromagn. Welle c2 =
in Materie
κ = Isentropenexponent
p = Druck
ρ = Dichte
K = Kompressionsmodul
E = Elastizitätsmodul
G = Schubmodul
σ = F / A = Spannung
κp/ρ
K/ρ
E/ρ
G/ρ
σ/ρ
1/ε0µ0
1/εε0µµ0
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I.3. Intensität
Wellen transportieren Energie. Die pro Zeiteinheit und Flächeneinheit A
(senkrecht zur
Ausbreitungsrichtung) transportierte Energie heisst Intensität (oder Energiestromdichte) Ι.
Ι = P / A = η c P = Leistung, = η Energiedichte = Energie / Volumenelement
(denn wenn die Welle ein Flächenelement dA durchsetzt, so ist
η = dE / dV = dE / (dz dA ) und also
η c = (dE / dz dA ) ( dz / dt) = dE / (dA dt) = Ι ).
2
2
2
Mechanische Wellen:
E = ½ m vmax = ½ m A ω
Für ein Massenelement dm = ρ dV ist also
dE = ½ ρ A ω dV und
2
2
2
2
2
η=½ ρA ω
2
Ι=½ ρcA ω
η = ε ε0 E2 = µ µ0 H2
Elektromagnetische Wellen:
wo E und H den elektrischen bzw. magnetischen Feldstärkevektor bezeichnen.
Ι = ε ε0 E2 c
Die Intensität
schwankt räumlich und zeitlich, ihr Mittelwert ist gegeben durch
Die Lichtgeschwindigkeit ist
c = (εε ε0 µ µ0 ) -
2
Ιmittel = ½ ε ε0 Emax c.
½
und daher schliesslich
I mittel =
1 ε ε0
E2max
2 µ µ0
Als wesentliches Ergebnis folgt, dass für alle Arten von Wellen die Intensität proportional
zum Quadrat der Amplitude ist (bei komplexer Schreibweise erhältlich aus y y* ).
Ι ∼ A2
Der Proportionalitätsfaktor hängt allerdings noch von den Eigenschaften des Mediums ab.
Für elektromagnetische Wellen ist der Zusammenhang:
2
Ι ∼ nE
• Ebene Wellen:
• Kugelwellen:
Stefan Stankowski
(n = Brechungsindex des Mediums, E = elektrische Feldstärke).
A konstant, Ι konstant , Ausbreitung in einer Raumrichtung
A ∼ 1/r , Ι ∼ 1/r2 , Ausbreitung nach allen Seiten im Raum
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II. Interferenz
II.1. Addition von Wellenfunktionen, Interferometer
Wellenfunktionen addieren sich genauso wie schon für Schwingungen besprochen. Wellen können
sich also (ganz oder teilweise) auslöschen, wenn sie nicht in Phase sind.
Bestimmung der Wellenlänge durch Interferenz-Versuche:
Mathematisch:
Bei der Überlagerungen addieren sich die Wellenfunktionen.
Bei maximaler positiver Interferenz kann sich dabei die Intensität verdoppeln:
y1 + y2 = A exp j(ωt – βz) + A exp j(ωt – βz) = 2A exp j(ωt – βz)
2
2
Ι1 ∼ |y1| = A
2
2
, Ι2 ∼ |y2| = A
2
2
, Ι 1+2 ∼ |y1 + y2| = 4 A = 2 (Ι1 + Ι2) !!
In der Realität gibt es aber niemals solche isolierten ebenen Wellen, sondern immer Wellenfelder von
einer gewissen Ausdehnung, wo bei Interferenz immer gleichzeitig Stellen mit positiver Interferenz
(Verstärkung) und mit negativer Interferenz (Auslöschung) auftreten. Im Mittel bleibt also die Energie
des Wellenfelds erhalten, trotz lokaler Schwankungen.
Praxis: Es treten 2 Typen von Fragestellungen auf:
a) Überlagerung von 2 Wellen y1(z,t) und y2(z,t)
an einem bestimmten Ort zu einer bestimmten Zeit:
b) Amplitude einer Überlagerung am Ort z
(zu beliebiger Zeit):
y(z,t) = y1(z,t) + y2(z,t)
A = |y(z,t)| = |y1(z,t) + y2(z,t)|
= {A12 + A22 + 2 A1 A2 cos ∆Φ} ½
Interferometer
Interferometer sind Instrumente, mit denen sich Präszisionsmessungen von Längen,
Geschwindigkeiten und Änderungen des Brechungsindex aufgrund von Interferenzen durchführen
lassen. In der Regel wird ein Strahl in 2 Teilstrahlen aufgeteilt, die nach Durchlaufen verschiedener
Strecken wieder zusammengeführt werden und dabei Interferenzmuster ausbilden.
Am berühmtesten ist das Interferometer von Michelson, mit dem nachgewiesen wurde, dass die
Lichtgeschwindigkeit in allen gleichförmig bewegten Bezugssystemen identisch ist (Spezielle
Relativität).
Im Anhang sind verschiedene Interferometer und damit gemessene Effekte dargestellt.
(Das Fabry-Pérot wird erst in einem folgenden Kapitel behandelt).
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II.2. Übergang zwischen verschiedenen Medien
Reflexion und Transmission, Phasensprung
Beim Übergang einer Welle in ein Medium mit anderer Ausbreitungsgeschwindigkeit wird
• die Wellenlänge verändert, die Frequenz bleibt gleich
• generell ein Teil der Welle reflektiert, der Rest tritt in das neue Medium ein (transmittierte
oder gebrochene Welle, vgl. geometrische Optik: Brechung).
Phasensprung:
Beim Übergang in ein (optisch) dichteres Medium (grösserer Brechungsindex) erleidet die
reflektierte Welle einen Phasensprung um π (1/2 Phase, Vorzeichenwechsel). Ihre
Schwingung ist derjenigen der transmittierten Welle entgegengerichtet.
Dieser Effekt tritt nicht auf beim Übergang zum (optisch) dünneren Medium.
Bei senkrechtem Auftreffen auf das neue Medium lassen sich die reflektierte Amplitude A r und die
transmittierte Amplitude A t wie folgt aus der einfallenden Amplitude A 0 berechnen:
Amplituden-Transmissionsfaktor
Amplituden-Reflexionsfaktor
2 c2
t = --------------c1 + c2
c2 - c1
r = ------------------c1 + c2
=
=
2 n1
-----------n1 + n2
n1 - n2
--------------n1 + n2
Die entsprechenden Intensitäts-Faktoren T bzw. R ergeben sich daraus unter Beachtung
von
Ι ∼ n A2
Beachte:
Beim Übergang vom (optisch) dichteren zum (optisch) dünneren Medium kann die Amplitude der
transmittierten Welle gegenüber der einfallenden Amplitude anwachsen, die transmittierte Intensität
(Leistung) ist aber wegen des Reflexionsverlusts immer kleiner als die einfallende Intensität.
Das Minuszeichen im Reflexionsfaktor führt formal zu einer negativen Amplitude, falls c2 < c1 ist
(Übergang zum dichteren Medium). Dies entspricht dem oben besprochenen Phasensprung.
Bei nicht senkrechtem Einfall hängen die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten von der
Polarisation der Welle ab!
Anmerkung: Hier wird nur ein Spezialfall besprochen. Bei allgemeinerer Behandlung ist in den obigen
Formeln der Brechungsindex durch den sogenannten Wellenwiderstand Z zu ersetzen (siehe
Nachrichtentechnik und Anhang).
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Stehende Wellen:
Die schon erwähnten stehenden Wellen lassen sich unter einem neuen Gesichtspunkt betrachten:
An Phasengrenzen werden Wellen reflektiert. Ist die Länge eines Ausbreitungsmediums so gewählt,
dass hinlaufende Welle und zurückkehrende reflektierte Welle gerade im Gleichtakt schwingen und
sich maximal überlagern, so entsteht eine stehende Welle.
Am Übergang zum dichteren Medium, wo ein Phasensprung stattfindet,
kann dann nur ein Wellenknoten vorliegen.
Am Übergang zum dünneren Medium, wo kein
Phasensprung stattfindet, kann dann nur ein
Wellenbauch vorliegen.
II.3. Interferenz an dünnen Schichten
Kohärenz des Lichts
Interferenzeffekte an Lichtwellen sind erst spät entdeckt worden. Das liegt daran, dass "gewöhnliches"
Licht aus zahlreichen Wellenpaketen besteht, deren Phasen untereinander weitgehend ohne
Zusammenhang sind.
Licht mit definierter Phase heisst kohärent, Licht mit undefinierter Phase inkohärent.
Licht aus gewöhnlichen Lichtquellen ist also weitgehend inkohärent, Laserlicht dagegen ist hochgradig
kohärent (durch die stimulierte Emission entstehen synchronisierte Wellen-pakete, die im Gleichtakt
schwingen).
Um Interferenzeffekte mit gewöhnlichem Licht zu beobachten, muss man einen Lichtstrahl an einem
Strahteiler (z.B. halbdurchlässiger Spiegel) in zwei Teilstrahlen aufspalten. Wenn diese wieder
vereinigt werden, ergeben sich Interferenzeffekte. Allerdings ist das "Erinnerungsvermögen" an die
Phase begrenzt. Wenn ein Teilstrahl eine erheblich längere Strecke zurückgelegt hat als der andere,
bevor sie wieder vereinigt werden, ist die Korrelation (die "Verknüpfung") der Phasen gestört, die zwei
Teilstrahlen zeigen keine Interferenz mehr.
Der maximale Längenunterschied im Lichtweg der zwei Teilstrahlen, bei dem noch Interferenz
beobachtet werden kann, heisst "Kohärenzlänge" und ist ein gutes Mass für die Kohärenz des Lichts.
Das Licht einer Glühbirne hat Kohärenzlängen im Bereich von µm
eine Spektrallampe im Bereich von 10 cm,
ein guter Laser im Bereich von 100 m oder sogar km.
Interferenzeffekte mit gewöhnlichem Licht sind bekannt durch Effekte an sehr dünnen Schichten, wo
Laufzeitunterschiede im Bereich von lediglich µm auftreten.
Solche dünne Schichten sind z.B. Ölfilme, Luftspalte zwischen Glasplatten, dünne Folien usw.
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Bei senkrechtem Einfall auf eine dünne planparallele
Schicht der Dicke D ergibt sich die optische Wegdifferenz ∆ zwischen Strahlen, die an der Oberseite bzw.
an der Unterseite reflektiert werden, als:
∆=2nD
Falls nur bei einer dieser Reflexionen ein Phasensprung
auftritt,
ist eine zusätzliche Wegdifferenz λ / 2 einzusetzen:
∆=2nD + λ/2
________
2
2
Für endlichen Einfallswinkel α : ∆ = 2 D √ n - sin α (+ λ / 2)
Der Beobachter sieht Helligkeit, falls ∆ = Vielfaches von λ
und Dunkelheit, falls ∆ = λ /2 , 3λ /2, 5 λ /2 usw.
Wichtig: Phasensprung am dichteren Medium beachten!
Bei der Reflexion an dünnen Folien (mit λ/2 -Term!) ergibt sich Dunkelheit, wenn die Folie sehr dünn
ist (D 0). Im Durchlicht ergibt sich ein zur Reflexion komplementäres Interferenzmuster.
Bei planparallelen Schichten treten Interferenzstreifen unter gleichem Neigungswinkel auf. Bei
keilförmigen Schichten oder auf flacher Unterlage liegenden Konvexlinsen treten die Streifen an
Stellen gleicher Dicke auf (Newton-Ringe).
Die Analyse der Interferenzstreifen erlaubt eine Untersuchung der Oberflächen bis auf Bruchteile von
Mikrometern.
Anpassungsproblem, Vergütung von Linsen, Interferenzfilter:
Dampft man auf eine Linse eine Schicht der Dicke D auf, so werden reflektierte Strahlen ausgelöscht,
wenn D = λ / 4ns oder ein geeignetes Vielfaches davon ist (ns = Brechungs-index der Schicht.
Überlegen Sie selber, welche Vielfache in Frage kommen!).
Damit die interferierenden Strahlen gleiche Amplitude haben, muss ausserdem gelten:
________
ns = √ nLuft nLinse
Unterdrückung der Reflexion verstärkt die Transmission (und umgekehrt)!
Dieses Anpassungsproblem ist analog zu demjenigen der Hochfrequenztechnik. Beim Übergang
elektromagnetischer Wellen von einem Medium zum anderen sollen Reflexionen vermieden werden.
Dies lässt sich durch geeignte Antireflex-Stücke erreichen. Deren Wellenwiderstand Zs muss die
folgende Bedingung erfüllen:
_____
Zs = √ Z1 Z2
wo Z1 bzw. Z2 die Wellenwiderstände der zu verbindenden Wellenleiter sind.
Dasselbe Prinzip wird in Interferenz-Filtern und Interferenz-Spiegeln angewandt, bei denen eine
bestimmte Wellenlänge besonders verlustfrei durchgelassen bzw. gespiegelt werden soll.
Besonders wichtig in der Lasertechnik ist das "Fabry-Pérot-Etalon" (vgl. Beiblatt Interferometer).
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II.4. Beugung
Theorem von Huygens:
Jeder Punkt im Raum, der von einer laufenden Welle berührt
wird, kann als Ausgangszentrum einer Kugelwelle betrachtet
werden.
Die Einhüllende der Kugelwellen ergibt die Wellenfront.
Wenn alle Punkte auf einer Ebene Kugelwellen erzeugen,
ergibt sich durch Superposition eine ebene Welle.
Wenn aber die Ebene durch eine Blende eingegrenzt wird,
kann an den Rändern keine Überlagerung mehr auftreten,
dort treten Beugungseffekte auf.
Im Folgenden werden wir uns auf Beugungseffekte beschränken, die durch ebene Wellen erzeugt werden („Fraunhofersche
Beugung“), die senkrecht auf die Blende auftreffen
Beugung am Rechteckspalt:
Nach dem Huygens'schen Prinzip breitet sich die Welle hinter dem Spalt in alle Richtungen aus.
Betrachten wir die Richtung im Winkel α. Je 2 Strahlen aus der oberen und unteren Hälfte des Spalts
haben einen Wegunterschied von
∆ = ½ b sin α
(b = Spaltbreite)
Beträgt dieser Wegunterschied λ / 2, so löschen sich die Strahlen aus der oberen und der unteren
Spalthälfte gerade gegenseitig aus. Mit ähnlichen Argumenten findet man, dass Auslöschung immer
dann stattfindet, wenn
b sin α = m λ
(m ganzzahlig).
Strahlverstärkung findet etwa in der Mitte dazwischen statt. Die genaue Rechnung zeigt eine Intensität,
die mit α variiert gemäss
Ι = Ιmax (sin x / x)
2
wo x = π (b / λ) sin α
Der helle Streifen in Vorwärtsrichtung wird als nullte Ordnung bezeichnet, die folgenden nach jeder
Seite als 1., 2. etc. Ordnung.
Beugung an mehreren Spalten (Gitter):
Auf ähnliche Art interferieren auch Strahlen aus benachbarten Spalten, deren Abstand g beträgt.
Die optische Wegdifferenz zwischen solchen Strahlen ist
∆ = g sin α
(g = Spaltabstand)
Das dabei erzeugte Beugungsbild wird von dem des Einzelspalts überlagert (vgl. Darstellungen auf der
nächsten Serite). Im Fall von Mehrfachspalten werden Zwischenmaxima im Beugungsbild durch
Interferenz zwischen weiter auseinanderliegenden Spalten unterdrückt, sodass die beobachtbaren
Maxima auseinanderrücken (vgl. Abbildung).
Da die Position der Beugungsmaxima von der Wellenlänge abhängt, bieten Beugungsgitter eine
ausgezeichntete Trennung der verschiedenen Wellenlängen des Lichts (Monochromator = Instrument
zur Selektion einer bestimmten Wellenlänge, vor allem in der Spektroskopie).
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(b / λ) sin α
(g / λ) sin α
(b / λ) sin α
(g / λ) sin α
Kreisförmige Blende :
Als Beugungsfigur ergibt sich ein System von hellen und dunklen
Ringen. Der erste dunkle Streifen erscheint unter dem Winkel α,
wo
sin α = 1.22 λ / D
(D = Blendendurchmesser)
Theorem von Babinet:
Das Beugungsmuster ist identisch für komplementäre beugende
Strukturen, bei denen lichtdurchlässige und lichtundurchlässige
Teile gegeneinander vertauscht sind, also z.B. für eine dünne
Blende gleich wie für einen dünnen Draht.
Fourier-Optik:
Beschränkt man sich auf kleine Winkel, sodass sin α = α gesetzt werden kann, so ist die
Amplitudenverteilung des Beugungsmusters gerade die Fouriertransformierte der Raumstruktur, an
der gebeugt wird (z.B. einer Blenden- oder Spaltanordnung).
Durch Beugung lassen sich also Fouriertransformationen experimentell erzeugen (Anwendungen z.B.
in der Bildverarbeitung).
Bei der Streuung von Röntgenstrahlen an Kristallen ergeben sich Beugungsmuster, aus denen man
auf die Atomstruktur zurückschliessen kann. Auch dabei wird die Atomstruktur durch eine (inverse)
Fouriertransformation aus dem Beugungsmuster gewonnen.
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II.5. Auflösungsvermögen, Divergenz von Laserstrahlen
Das "Auflösungsvermögen" eines optischen Instruments, z.B. eines Mikroskops, definiert den Abstand
zweier Punkte, deren Bilder noch getrennt erscheinen und nicht miteinander verschmelzen. Die
Grenze des Auflösungsvermögens ist durch Beugungseffekte gegeben (Theorie des Mikroskops von
Abbe).
An zwei abzubildenden Punkten wird Licht gebeugt.
Man geht davon aus, dass die Punkte noch als getrennt
registriert werden, wenn die zwei Maxima nullter Ordnung
unter einem Winkel δ erscheinen, der mindestens halb so
gross ist wie der Winkel, unter dem das erste Beugungsminimum erscheint. Nach der Formel für kreisförmige Blenden (vorige Seite) ergibt das:
sin δ = 1.22 λ / d
wo d = Durchmesser der Beobachtungsblende.
Falls zwischen den beiden Punkten und dem
Objektiv nicht Luft ist, sondern ein anderes Medium, ist sin δ durch (n sin δ) = NA (numerische
Apertur) zu ersetzen.
Eine andere Anwendung betrifft die Divergenz von Laserstrahlen. Nach derselben Formel folgt: Je
enger der Strahl (z.B. durch Linse, Blende) eingeschnürt
wird (Durchmesser D), desto stärker divergiert er
(läuft er auseinander, Divergenzwinkel ⊖).
Da es sich um kleine Winkel handelt, wird sin ⊖
durch ⊖ (in rad) ersetzt und man hat:
⊖ = 0.64 λ / D
(Der Faktor 0.64 = 2/π ergibt sich unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Intensität des Laserstrahls
nicht gleichmässig über den Querschnitt des Strahls verteilt ist).
Um grosse Strecken möglichst verlustfrei zu überwinden, muss also der Laserstrahl stark aufgeweitet
werden!
III. Absorption
Beim Durchgang durch Materie kann Wellen-Energie (Schall, Licht etc.) "absorbiert" werden. Meist
hängt der Grad der Absorption von der Wellenlänge ab (beziehungsweise von der Frequenz oder
Energie des "Schwingungsquants").
Die Intensität dI, die beim Durchgang durch eine Strecke dz verloren geht, ist proportional zur
einlaufenden Intensität Ι:
dΙ ∼ Ι dz
Durch Integration über eine endliche Strecke z ergibt sich:
Ι = Ι0 exp (- γ z)
für die Amplitude A:
1
A = A0 exp (- /2 γ z) = A0 exp (- α z)
wo Ι0 die einlaufende Intensität ist und Ι die Intensität nach Durchlaufen der Strecke z.
z
Die Konstante γ (bzw. α) hängt von der Konzentration
des absorbierenden Materials ab.
Da die Amplitude proportional zur Wurzel aus der Intensität ist,
wird dort der Exponent halbiert.
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I0
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Häufig wird die Abschwächung der Intensität I oder der Leistung P in deziBel angegeben:
Abschwächung in dB = 10 log ( Ι0 / Ι ) = 10 log ( P0 / P)
[ = 20 log (A0 / A) ]
Die logarithmische Einheit hat den Vorteil, dass sie ein Mass ergibt, das proportional zur durchlaufenen
Strecke ist.
Zusammenhang zwischen dem Absorptionskoeffizienten γ und der dB-Abschwächung:
γ z = ln ( Ι0 / Ι ) = 2.303 log ( Ι0 / Ι ) = 0.2303 dB
Mit P0 = 1 mW ergibt sich ein absolutes Mass (Angabe in dBm) für elektromagnetische Wellen.
Mit Ι 0 = 10
-12
2
W/m (= Hörschwelle bei 1000 Hz) ergibt sich ein absolutes Mass für Schallwellen.
[Anmerkung: Erweiterter "Brechungsindex"
Vollständige Transparenz (Transmission ohne jede Absorption, z.B. Glas für sichtbares Licht) bzw.
vollständige Absorption (Eindringtiefe vernachlässigbar: Metalle für sichtbares Licht) sind Grenzfälle,
die in der Praxis nur näherungsweise realisiert sind. Falls Transmission von Absorption begleitet ist,
hat der räumliche Exponent der Wellenfunktion einen Real- und einen Imaginärteil:
exp -(α + j β) z
(Realteil: Absorption, Imaginärteil: Ausbreitung)
In der Optik ist es üblich, dafür einen komplexen Brechungsindex einzuführen:
n = n' - j κ = √ ε
wo der Realteil n' in gewohnter Weise die Fortpflanzung der Welle im Medium beschreibt (c Medium =
c0 / n' ) und κ die Absorption.
Mit (β 0 = Wellenzahl im Vakuum) wird der räumliche Exponent: exp – n j β 0 z = exp – (κ + j n’) β 0 z
Transmission: β = n’ β0
, Absorption: α = κ β
0
n' und κ können experimentell bestimmt werden (Tabellen).
Theoretische Ansätze benutzen ein Modell erzwungener Oszillatoren.
In Bereichen starker Absorption sinkt n' in charakteristischer Weise ("anomale Dispersion"),
während es in den übrigen Spektralbereichen
mit wachsender Frequenz ansteigt ("normale
Dispersion").
In Metallen führt man die sogenannte "Plasmafrequenz" ωp ein:
2
n = 1 - (ωp / ω)
2
Für kleine Frequenzen ω < ωp wird n imaginär, es findet starke Absorption statt.
Für grosse Frequenzen ω > ωp wird n reell, der Stoff wird transparent.
16
- 1
Für Kupfer ist ωp = 1.6 ⋅10
s
, was λ = 120 nm entspricht. Für kleinere Wellenlängen
(Röntgenstrahlen) wird Kupfer transparent.
Evanescent wave, Tunneleffekt
Trifft eine Welle auf ein Medium, wo sie sich nicht ausbreiten kann, so verschwindet sie nicht
schlagartig, sondern ihre Intensität nimmt exponentiell ab. Dies gilt nicht nur bei der Absorption,
sondern z.B. auch bei der Totalreflexion. Trifft eine Welle auf eine Grenzfläche unter einem Winkel α,
der grösser als der Grenzwinkel der Totalreflexion ist, so dringt sie, exponentiell gedämpft, ein Stück
weit in das verbotene Medium ein. Die charakteristische Eindringtiefe beträgt:
-1
δ = (n2 m β 0) = λ0 / (2 π n2 m)
wo n2 der Brechungsindex des verbotenen Mediums ist und
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_________
2
m = √ 1 – sin α .
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Nach dieser Strecke ist die Amplitude auf 1/e gefallen. Das Eindringen dieser Welle ist mit einer
Strahlversetzung (Goos-Hänchen-Shift) und einer Phasenverschiebung des total reflektierten Strahls
verbunden.
Praktische Bedeutung:
1. Die evanescent wave "spürt" Änderungen des Brechungsindex im Mantelbereich. Dadurch wird der
effektive Brechungsindex auch im Kern verändert. Diese Eigenschaft wird für Sensor-Applikationen
verwendet (Aufspüren von Materialanlagerung an den Lichtleiter).
2. Wenn im Mantelbereich absorbierendes Material vorhanden ist, wird die evanescent wave
geschwächt und damit auch die im Lichtleiter ausgebreitete Welle. Damit können gezielt extrem dünne
Absorptionsschichten auf der Oberfläche des Lichtleiters untersucht werden (ATR = Attenuated Total
Reflection, FTR = Frustrated Total Reflection).
Ebenso kann auch fluoreszierendes Material im Mantelbereich durch die evanescent wave zum
Strahlen angeregt werden (Nachweis der Anlagerung fluoreszent markierter Moleküle auf der
Lichtleiteroberfläche).
3. Bringt man zwei Lichtleiter räumlich so nahe aneinander, dass ihre evanescent waves überlappen,
so kann die Welle von einem Lichtleiter in den anderen übertreten. Dies wird zum Austausch zwischen
Lichtleitern, Multiplexing usw. verwendet.
Auf diese Art wird auch die optische Verstärkung in langen Glasfaserstrecken eingekoppelt.
4. Das Übertragen von Wellen über einen „verbotenen“ Spalt mittels ihrer Evanescent wave tritt auch
in der Quantentheorie auf und wird dort als „Tunneleffekt“ bezeichnet.
Es bildet die Grundlage z.B. der Tunneldiode und des Raster-Tunnel-Elektronenmikoskops.]
IV. Doppler-Effekt
Wie vom Vorbeifahren eines hupenden Autos bekannt ist, scheinen Wellen, die von einer Quelle Q
ausgehen, zusammengedrückt (scheinbar kürzere Wellenlänge oder höhere Frequenz), wenn
Beobachter und Quelle sich während der Aussendung einander nähern.
Die Wellen scheinen auseinandergezogen (längere Wellenlänge, kleinere Frequenz), wenn
Beobachter und Quelle sich voneinander entfernen.
Der (nach seinem Entdecker benannte) "Doppler-Effekt" tritt bei allen Arten von Wellen auf, auch bei
elektromagnetischen. Er bildet die Grundlage von Geschwindigkeitsmessungen mit dem Radar. Die
Tatsache, dass ferne Galaxien ein mit der Entfernung zunehmend rot-verschobenes Spektrum ihres
Sternlichts zeigen, beweist die Ausdehnung des Universums.
Die Beziehung zwischen den Frequenzen f, die die Quelle aussendet, und f', die der Beobachter
wahrnimmt, ist gegeben durch
c - vB
f ' = f -----------c + vQ
wobei vB und vQ die Geschwindigkeiten von Beobachter und Quelle
bezeichnen (jeweils positiv bei Entfernung , negativ bei Annäherung)
und c die Wellengeschwindigkeit ist.
Interessanterweise zeigt diese Formel, dass der Doppler-Effekt nicht genau gleich ist im Fall, wo sich
der Beobachter gegen die Quelle bewegt und im Fall, wo sich die Quelle gegen den Beobachter
bewegt. Der Unterschied ist in der Praxis in der Regel ohne Bedeutung, denn für den Normalfall, wo v
<< c ist, gilt als gute Näherung für die Bewegung von Quelle oder Beobachter:
v
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f ’ = f ( 1 - ---- )
c
Falls v > c (z.B. Ultraschall), breitet sich die Welle nur innerhalb eines
Kegels vom Öffnungswinkel α aus, wobei sin α = c / v.
Nach der Relativitätstheorie ist die Unterscheidung, wer sich bewegt,
für das Licht nicht möglich. Dort gilt eine etwas andere Doppler-Formel:
f′ = f
c- v
c+ v
wobei v die Relativgeschwindigkeit zwischen Quelle und Beobachter ist, unabhängig davon, wer sich
bewegt. (v > 0 bei Bewegung voneinander weg, < 0 bei Bewegung aufeinander zu. Auch diese Formel
ist für technische Anwendungen, wo v << c,
praktisch nicht von der oben angegebenen
Näherungsformel für den Schall zu unterscheiden).
V. Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
Für die harmonische Welle beträgt die Fortpflanzungsgeschwindigkeit
c = f λ = ω/β
(Phasengeschwindigkeit)
Für die Signalübermittlung sind harmonische Wellen unbrauchbar,
statt dessen braucht man einen Wellen-Impuls, ein "Wellenpaket".
Tatsächlich werden Wellen stets nur während einer begrenzten
Dauer ausgesendet und stellen in der Praxis daher immer (mehr
oder weniger lange) Wellenpakete dar. Fourier-Analyse zeigt, dass
Wellenpakete stets aus Beiträgen verschiedener Frequenzen
zusammengesetzt sind.
Falls alle diese Frequenzen sich mit gleicher Geschwindigkeit
ausbreiten (so z.B. für elektromagnetische Wellen im Vakuum),
pflanzt sich das Wellenpaket mit der oben angegebenen (Phasen)Geschwindigkeit c fort. In den meisten Medien tritt aber ein Effekt
auf, der "Dispersion" genannt wird: die Phasengeschwindigkeit
variiert leicht je nach Frequenz der Welle.
Dadurch breiten sich die verschiedenen Frequenzkomponenten
eines Wellenpakets verschieden schnell aus, das Paket wird
verformt und die tatsächliche Geschwindigkeit, mit der ein Signal
übermittelt wird, ist nicht mehr die Phasengeschwindigkeit c,
sondern die "Gruppengeschwindigkeit" cGr:
cGr = dω
ω / dβ
β = - λ2 (df / dλ
λ) = c - λ (dc / dλ
λ)
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VI. Akustik
Hier sollen nur einige wenige Grössen angegeben werden, die in der Akustik viel verwendet werden,
Ansonsten ist dieses Kapitel so aufgebaut, dass die grundlegende Analogie zwischen
Wellenphänomenen aus verschiedenen Bereichen der Physik (Optik, Akustik, HF-Technik) deutlich
wird, Die meisten Ergebnisse lassen sich also direkt auf die Akustik übertragen.
Einige Tabellen im Zusammenhang mit der Akustik sind als Anhang beigefügt.
Eine erste Einführung in die Raum-Akustik und Schalldämmung findet man z.B. im Buch Hering,
Martin, Stohrer, Physik für Ingenieure, VDI-Verlag, Kap. 7.4.
Wichtige Anwendungen in der Technik hat der Ultraschall (US). Da die Leistung einer Schallwelle bei
2
gegebener Amplitude mit ω ansteigt, lassen sich mit hohen Frequenzen hohe Leistungen, z.B. zum
Schneiden und Fräsen erzeugen. Auch Reinigung mit Unterstützung von US wird viel verwendet.
US bei hohen Frequenzen lässt sich auch zum Durchstrahlen von Objekten verwenden,
(Dickenmessungen und Aufspüren von Fehlstellen und Verunreinigungen in der Technik, Diagnostik in
der Medizin).
Ultraschall = Schall oberhalb von 20 kHz
Infraschall = Schall unterhalb von 20 Hz.
Einige Grundbegriffe aus der Akustik (andere Begriffe und Formeln siehe oben):
Schallschnelle: Geschwindigkeitsamplitude des schwingenden Teilchens: u = A ω
2
Energiedichte: η = ½ ρ u
Die Energiedichte ist gleich dem Schallstrahlungsdruck bei völliger Absorption.
Schallwechseldruck = Druckamplitude: ∆p = ρ c u
(u = max. Geschwindigkeit des schwingenden Teilchens, c = Wellen-Ausbreitungsgeschwindigkeit)
Schallstärke = Schallintensität: Ι = η c = ½ ∆p u
Da die Energiedichte mit dem Quadrat von u und damit dem Quadrat der Frequenz zunimmt, lässt sich
Schall von besonders hoher Intensität im Ultraschallbereich herstellen.
Ultraschall lässt sich ausserdem gut bündeln, da wegen der kürzeren Wellenlänge weniger Beugung
auftritt.
Die Empfindlichkeit des menschlichen Ohrs nimmt logarithmisch mit der Schallstärke zu. Dies wird
technisch durch die Angabe des relativen Schallpegels in logarithmischer Skala (deziBel)
wiedergegeben:
relativer Schallpegel D = 10 log Ι2 / Ι1 = 20 log ∆p2 / ∆p1
in deziBel
Für die Empfindlichkeit des Ohrs gilt die Mass-Einheit Phon:
Lautstärke = 20 log ∆p / ∆p0
oder
= 10 log Ι / Ι0
-5
∆p0 = 2 ⋅10 Pa
- 12
2
Ι0 = 10
W/m
(Die Definitionen von ∆p0 und Ι0 stimmen nicht ganz exakt überein, der kleine Unterschied wird als
unwesentlich in Kauf genommen).
Bei 1000 Hz (in der Nähe der höchsten Empfindlichkeit des Ohrs) ist die Lautstärke gleich der MassEinheit phon. Für andere Frequenzen ist für das phon mit der Empfindlichkeitskurve des menschlichen
Ohrs zu wichten (es gibt verschiedene Standardkurven).
Typische Werte:
Flüstern: 10 phon,
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Strassenlärm: 90 phon, Schmerzgrenze: 130 phon.
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VII. Polarisation
Transversalwellen sind im Prinzip polarisiert, d.h. sie schwingen in einer bestimmten Richtung.
Dies gilt auch für Lichtquanten. Erfolgt die Schwingung immer in derselben Ebene, so heisst sie linear
polarisiert.
Natürliches Licht besteht allerdings oft aus einer Überlagerung zahlreicher Quanten mit statistisch
verteilten Polarisationsrichtungen, sodass keine definierte Polarisation mehr zu messen ist. Solches
Licht heisst "unpolarisiert".
Unpolarisiertes Licht lässt sich durch Reflexion und beim Durchgang durch Polarisationsfilter teilweise
oder ganz polarisieren. Wie stark polarisiert das Licht ist, sieht man beim Durchgang durch ein
weiteres Polarisationsfilter, den "Analysator". Dreht man diesen, so kommt bei unpolarisiertem Licht
immer gleich viel Intensität durch, bei völlig polarisiertem Licht ist die Intensität bei einer AnalysatorStellung maximal, bei einer Stellung senkrecht dazu Null.
Bei teilweise polarisiertem Licht ist die durchgelassene Intensität in der Stellung senkrecht zum
Maximum (Ιmax) nicht Null, aber minimal (Ιmin).
Polarisationsgrad:
Ιmax - Ιmin
P = -------------Ιmax + Ιmin
P = 0 : unpolarisiertes Licht,
P = 1 : vollständig polarisiertes Licht.
Erfolgt die Schwingungserregung gleichzeitig in zwei verschiedene Richtungen, so ergibt sich als
Resultat eine Schwingung, die sich aus der Vektoraddition der beiden Erregungen zusammensetzt.
Umgekehrt kann man jede gegebene Schwingung in zwei Erregungs-komponenten zerlegen.
Überlagerung zweier zueinander senkrechter linear polarisierter Schwingungen gleicher Frequenz
ergibt:
$ linear polarisiertes Licht,
wenn beide Anteile gleiche Phase haben
o
(Polarisationsrichtung um 45 gedreht, wenn
die Anteile gleiche Amplitude haben)
$ zirkular polarisiertes Licht
o
bei 90 Phasenverschiebung der Anteile
(Polarisationsebene dreht sich mit der Zeit)
$ elliptisch polarisiertes Licht
bei anderen Phasen- und Amplitudenbeziehungen
Diese Art der Zerlegung erlaubt auch die Bestimmung der durchgelassenen Amplitude, wenn der
Analysator um den Winkel α gegenüber der Polarisationsrichtung der Welle verdreht ist:
$ Amplitude um cos α verkleinert
2
$ Intensität um cos α verkleinert
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Erzeugung und Anwendung von polarisiertem Licht
Reflexionspolarisation
Bei der Reflexion an nicht-metallischen Grenzflächen (also an Dielektrika)wird die Komponente
schwächer reflektiert, die in der Einfallsebene schwingt (also in der Ebene, die durch das Einfallslot
und den einfallenden Strahl bestimmt ist). Die genauen Formeln (Fresnel-Formeln) sind in einer
Beilage aufgeführt.
Der Effekt ist abhängig vom Einfallswinkel. Ganz unterdrückt wird die Komponente, die in der
Einfallsebene schwingt, beim Brewster-Winkel; dort stehen reflektierter und gebrochener Strahl gerade
senkrecht aufeinander. Der Effekt lässt sich nutzen, um Polarisatoren zu konstruieren.
Doppelbrechung
In manchen Kristallen (Kalkspat, Quarz ...) entsteht aufgrund der speziellen Kristallsymmetrie bei der
Brechung ausser dem "ordentlichen" Strahl noch ein "ausserordentlicher" Strahl, der sich in anderer
Richtung (entlang einer Kristall-Vorzugsachse) und mit anderer Geschwindigkeit fortpflanzt.
Ordentlicher und ausserordentlicher Strahl sind senkrecht zueinander polarisiert.
Durch speziellen Schliff und Aneinanderkitten von Kristallprismen gelingt es, einen dieser Strahlen
auszublenden, und man erhält sehr sauber polarisiertes Licht (Nicol-Prisma, Glan-Prisma).
Optische Aktivität
Manche Kristalle oder Moleküle breiten zirkular polarisiertes Licht einer bestimmten Drehrichtung
stärker als das der anderen. Solche Stoffe heissen optisch aktiv. Beim Durchgang von Licht durch
solche Stoffe wird die Polarisationsebene gedreht.
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Technische Anwendungen
Doppelbrechung und optische Aktivität lassen sich benutzen, um die Polarisation von Licht zu
modulieren.
λ/4 - Plättchen:
Plättchen aus doppelbrechendem Material. Da der ordentliche und der
ausserordentliche Strahl verschiedene Geschwindigkeiten haben, lassen sich die Plättchen so fertigen,
dass beide beim Austritt um λ/4 gegeneinander verschoben sind. Nach den Regeln der Überlagerung
(siehe.S.12) ergibt sich aus linear polarisiertem Licht zirkular polarisiertes und umgekehrt.
λ/2 - Plättchen: Diese erzeugen auf analoge Weise aus linear polarisiertem Licht wieder linear
polarisiertes Licht, dessen Polarisationsebene gedreht ist.
Spannungsdoppelbrechung: Innere Spannungen in Materialien
erzeugen Symmetrie-Änderungen der Struktur und damit häufig
doppelbrechende Eigenschaften. Betrachtet man transparentes
Material zwischen zwei Polarisatoren, so kann man Bereiche mit
inneren Spannungen am Auftreten von hellen oder dunklen
Linien erkennen. Um den Spannungsverlauf in mechanischen
Bauteilen zu studieren, bildet man sie in Plexiglas nach und
registriert die Spannungslinien unter polarisiertem Licht.
Besonders interessant sind Kristalle, deren optische Eigenschaften durch Eingriffe von aussen
verändert werden können:
Pockels-Zelle, Kerr-Zelle: Erzeugung von Doppelbrechung beim Anlegen eines elektrischen Felds
(z.B. in Diphosphat-Kristallen: ADP, KDP, oder in Lithium-Niobat).
(Es gibt sogar Materialien, deren brechende Eigenschaften durch einen starken steuernden
Lichtstrahl verändert werden können.)
Elasto-optischer Effekt: Doppelbrechung wird beim Durchzug von Schallwellen durch einen
Kristall erzeugt.
Flüssigkristalle: Änderung der optischen Aktivität beim
Anlegen einer Spannung
Mit diesen Hilfsmitteln kann die Polarisation von
Licht beim Durchtritt durch diese Kristalle oder
Zellen nach Wunsch verändert werden. Die Modulation der Polarisation wird dann meist benutzt,
um eine Modulation der Amplitude zu erzeugen:
man schickt das polarisationsmodulierte Licht
durch einen Analysator, der je nach Polarisationsrichtung mehr oder weniger Licht durchlässt.
Beispiel: Flüssigkristall-Anzeige (LCD)
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