Wellen - Superposition

Institut für Theoretische Physik
Quantentheorie I - Blatt 1
11/2007
Wellen - Superposition - Interferenz
1. Geben Sie für eine eindimensionale skalare Welle ψ(x, t), die sich mit der Geschwindigkeit c ausbreitet, die Wellengleichung an! Zeigen Sie, dass jede Funktion f (x±ct)
Lösung der Wellengleichung ist, und dass sich je nach Vorzeichen im Argument die
Welle in die positive bzw. negative x−Richtung ausbreitet! Wie sieht die Verallgemeinerung für eine Wellenausbreitung im 3-dimensionalen Raum mit der Ausbreitungsrichtung ~n aus? (f (~r ± ~nct))
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2. Zeigen Sie, dass ψ(~r, t) = ei(kr − ωt) eine Lösung der dreidimensionalen Wellenr
gleichung ist (evtl. in Kugelkoordinaten)! Warum stellt ψ(~r, t) eine Kugelwelle dar?
3. Bestimmen Sie das Ergebnis der Überlagerung von zwei eindimensionalen ebenen
Wellen A sin(kx − ωt) und A sin(kx + ωt) mit gleichen (Kreis-)Frequenzen ω, Wellenzahlen k und Amplituden A? Was ändert sich, wenn die Frequenzen und Wellenzahlen beider Wellen sich geringfügig voneinander unterscheiden? (stehende Welle,
α−β
α+β
Schwebung)
cos
Hinweis :
sin α + sin β = 2 sin
2
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4. Zwei in dieselbe Richtung laufende Seilwellen von gleicher Frequenz ω und gleicher
Amplitude A = 9.5 cm überlagern sich mit einer Phasenverschiebung Φ = 110◦ .
Wie groß sind Frequenz und Amplitude der Überlagerungswelle? Wie groß muß die
Phasenverschiebung gewählt werden, damit diese die gleiche Amplitude wie die Ausgangswellen hat? (As = 10.9 cm, Φ1 = 120◦ )
5. Zwei kohärente ebene Lichtwellen (λ = 590 nm) gleicher Amplitude interferieren,
wobei ihre Wellenfronten um einen Winkel θ = 5◦ gegeneinander verkippt sind.
Bestimmen Sie in der Ebene senkrecht zur Winkelhalbierenden der Ausbreitungsrichtungen der Wellen den Abstand der Interferenzminima (-maxima)!
θ
(λ/(2 sin ) = dM in = dM ax = 6.76 µm)
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6. Eine elektromagnetische linear polarisierte ebene Welle mit dem elektrischen Feld
~ r, t) = E0~ex ei(kz − ωt) wird dämpfungsfrei bei senkrechtem Einfall an einer MeE(~
tallwand (z = 0) reflektiert. Zeigen Sie, dass für die aus der Überlagerung beider
resultierende stehende Welle Knoten und Bäuche des elektrischen und des magneλ
tischen Feldes genau um gegeneinander verschoben sind! Dabei hat direkt an der
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Metallwand eine der Feldstärken einen Knoten. Welche, und warum?
7. Finden Sie die Form des Wellenpaketes, dass entsteht aus der Überlagerung eindimensionaler skalarer ebener Wellen mit Wellenzahlen k aus dem kontinuierlichen
δk
δk
Spektralbereich [k0 − , k0 + ] bei gegebener Amplitudenfunktion A(k) = 1
2
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und der Dispersionsbeziehung zwischen Kreisfrequenz und Wellenzahl ω(k) = c · k
(c konstant)! Wie groß ist die Gruppengeschwindigkeit des Wellenpaketes?
8. Berechnen Sie folgende Integrale mit der Dirac’schen Delta-Funktion δ(x):
Z π
I1 =
δ(cos x)eix dx
0
3π
Z
Z 2
I2 = π 2 δ(sin x)eix dx
und
I3 =
δ(x2 − 1)(3x2 − 1)dx
0
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