Kompressibilität eines Gases
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Vorlesung Physik für Pharmazeuten PPh - 07 Mechanische Wellen Akustik Wärmelehre 11.06.2007 Ausbreitung von Störungen A( x = 0, t ) = A0 sin(2π f ⋅ t ) Am Ort x=0 führt das Seil eine harmonische Schwingung aus. Wenn die Schwingung am Ort x=0 einmal durchlaufen ist, hat sich die „Störung“ gerade um eine Wellenlänge λ fortbewegt. Man erhält eine Ausbreitung der Schwingungsphase mit der Geschwindigkeit, c : λ⋅ f = c Wellenlänge λ Versuch Die harmonische Welle Eine eindimensionale, ungedämpfte harmonische Welle wird durch folgende Wellenfunktion beschrieben : A 2π ⎞ ⎛ 2π A ( x, t ) = A sin ⎜ ⋅t − ⋅ x⎟ λ ⎠ ⎝ τ = A sin (ω ⋅ t − k ⋅ x ) = A sin [ω ⋅ (t − x c )] τ: Schwingungsdauer; f=1/τ: Frequenz; ω=2π/τ: Kreisfrequenz λ: Wellenlänge; k=2π/λ: Wellenzahl c= λ⋅f=ω/k : Phasengeschwindigkeit A : Amplitude Wellen - Eine Schwingung, die sich räumlich ausbreitet ist eine Welle. - Eine klassische Welle transportiert Energie aber keine Masse. Jedes Teilchen schwingt an seinem Ort aber bleibt dort gebunden. Transversale Wellen: Longitudinale Wellen: Die Phasengeschwindigkeit : Beispiele c =λ⋅ f Schall (Gas) Schall (FK) Radio (UKW) IR Flachwasserwelle (h=2cm) λ 16-20.000Hz 3m 1µm-mm 100MHz 331 m/s 3000m/s 3·108 m/sm 4cm 10Hz 40cm/s c p kT = 1 ρK = cV m Versuch He c 2cm-20cm cFestk . = E ρ cGas f cWasser = g ⋅ h cLicht = 1 ε 0 µ0 = konst. Wellen in 2 und 3 Dimensionen - Ebene Wellen A(x,t) = A0 sin(ω ⋅t − kx) A(x,t) = A0 sin(ω ⋅t + kx) Welle breitet sich nach rechts aus Welle breitet sich nach links aus A(x,t) = A0 sin(ω ⋅t − 2π λ x) Wellenfront : Linien gleicher Phase k: Wellenzahl k: Wellenvektor (Wellenstrahl), steht senkrecht auf den Wellenfronten und Zeigt in die Ausbreitungsrichtung. Sein Betrag ist die Wellenzahl. r r A( x, t ) = A0 sin(ω ⋅ t − k ⋅ x) v k v k Huygens-Fresnel'sches Prinzip Jeder von einer Welle erregte Punkt wird selbst zum Ausgangspunkt einer neuen Kreis-/Kugelwelle. Versuch Wellenwanne Überlagerung von Wellen : Superpositionsprinzip Die resultierende Amplitude ist die Summe der Einzelamplituden A(x,t) = A1 (x,t) + A2 (x,t) Wellen überlagern sich ungestört! Verstärkung (Konstruktive Interferenz ): A( x, t ) = A ⋅ sin(ωt − kx) + A ⋅ sin(ωt − kx) = 2 A ⋅ sin(ωt − kx) Auslöschung (destruktive Interferenz): A(x,t) = A ⋅sin(ωt − kx) + A ⋅sin(ωt − kx + π ) = A ⋅sin(ωt − kx) − A ⋅sin(ωt − kx) = 0 Versuch Interferenz Stehende Wellen mit festen Randbedingungen Randbedingung A(0,t)=0, A(L,t)=0 Lösung : A( x, t ) = 2 A ⋅ cos(ωt ) sin( kx) Resonanzbedingung : L = n⋅ λ 2 λ: Wellenlänge n : ganze Zahl Grundschwingungen einer fest eingespannten Saite Erzeugung von Tönen Holzpfeife Versuch Kundtsches Rohr Orgelpfeife Obertöne einer Orgelpfeife geschlossene Pfeife (gedackte Pfeife) offene Pfeife Überlagerung harmonischer Schwingungen Dopplereffekt Die wahrgenommene Frequenz einer Schallwelle hängt von der Relativgeschwindigkeit, v der Quelle und des Empfängers ab. Man unterscheidet: 1. Bewegter Sender λ' Die Wellenlänge ändert sich und damit die Frequenz ⎛ v⎞ ' λ = λ ⎜1 m ⎟ ⎝ c⎠ −1 ⎞ ⎛ v f ' = f 0 ⋅ ⎜1 m ⎟ ⎝ c⎠ 2. Bewegter Empfänger Die Schallgeschwindigkeit ändert sich c' = c m v ⎛ f ′ = f 0 ⋅ ⎜1 m ⎝ v⎞ ⎟ c⎠ Versuch Dopplereffekt Aggregatzustände der Materie im atomistisches Bild Beispiel Wasser Eis Wasser Wasserdampf Dynamik an der Wasser-Luft Grenzfläche im atomistisches Bild Wärmelehre Thermodynamik P,V,T Die Thermodynamik beschreibt Phänome die mit Wärme zu tun haben durch makroskopische Zustandsgrößen (Temperatur, Druck, Volumen, ...) bzw. Prozeßgrößen (Wärme, Arbeit ...) thermodyn. Gesetze beschreiben Zustände, Zustandsänderungen, Phasenübergänge etc. PV = const. T Statistische Mechanik Wärme ist verknüpft mit ungeordneter Molekularbewegung von sehr vielen Teilchen. In einem atomistischen Bild können nur statistische Aussagen über Mittelwerte und Verteilungen der mechanischen Größen z.B. xi Orte, vi Geschwindigkeiten getroffen werden. Die Temperatur ist ein Maß für die mittlere kinetische Energie 1 2 m 2 T= ⋅ ⋅ v k 3 2 Grundlagen für Messungen mit Wärme Abgeschlossenes System : - System, das mit keinem anderen System in Wechselwirkung steht - Kein Teilchen oder Wärmeaustausch Gleichgewichtszustand "Befinden sich zwei Körper mit einem dritten im thermischen Gleichgewicht, so sind sie auch untereinander im Gleichgewicht" Nullter Hauptsatz der Thermodynamik T1 T2 T0 T3 T0 T0 Celsiusskala und Fahrenheitskala 100°F=37°C Wasser/Ammoniumchlorid Thermometer Messung der Temperatur über stark temperaturabhängige physikalische Größen Flüssigkeitsthermometer VolumenausDehnung ~ ∆T Thermoelement Thermospannung Bimetall-Thermometer Krümmung ~ ∆T Pyrometer Wärmestrahlung Thermische Ausdehnung fester und flüssiger Körper Erwärmung um ∆T = T2 − T1 führt zu einer linearen Längenzunahme ∆L = α ⋅ L ⋅ ∆T α: Längenausdehnungskoeffizient ∆V = γ V ⋅ L ⋅ ∆T ≈ 3α ⋅ L ⋅ ∆T γV: Volumenausdehnungskoeffizient Thermische Kräfte Schätzen Sie die Kraft des Bolzensprengers ab ! ∆L F = E ⋅ A⋅ L = E ⋅ A ⋅ α ⋅ ∆T Lager einer Eisenbrücke zur Vermeidung von thermischen Spannungen E : E-Modul ~ 1011N/m2 A : Fläche ~ cm2 α: 10-5 K-1 ∆T : 100K F ~ 104 N Versuch Atomares Model der thermischen Ausdehnung Tabelle : Wärmeausdehnung bei 20°C Die Atome schwingen um ihre Gleichgewichtslage. Für große Auslenkungen (größere kinetische Energie=höhere Temperatur) ist das Wechselwirkungspotential asymmetrisch und der Mittelwert des atomaren Abstands vergrößert sich. Wärmeausdehnung und Dichte Mit der thermischen Ausdehnung ändert sich auch die Dichte im Allgemeinen: ρ0 ρ (T ) = 1 + γ V ⋅ (T − T0 ) Berühmte Ausnahme: die Dichteanomalie des Wassers Höchste Dichte bei 3.9°C negativer Ausdehnungskoeffizient für 0<T<3.9°C Thermische Ausdehnung von Gasen V (T0 + TC ) = V (T0 )(1 + γ V ⋅ TC ) 1. Gay-Lussac-Gesetz Isobare Zustandsänderung : Zustandsänderung findet bei konstantem Druck statt. V 1 1 γV = = T0 273,15 -T0 ϑ[oC] Versuch : Gasthermometer Erfahrungstatsache : Die thermische Ausdehnung verdünnter Gase ist (nahezu) unabhängig vom Stoff Isochore Zustandsänderung Zustandsänderung findet bei konstantem Volumen statt. P (T0 + TC ) = P (T0 )(1 + γ P ⋅ TC ) 2. Gay-Lussac-Gesetz (Gesetz von Charles) p 1 1 γP = = T0 273,15 Gasthermometer mit Konstantem Volumen -T0 ϑ[oC] Ideale Gase und die absolute Temperaturskala P (T0 + TC ) = P (T0 )(1 + γ P ⋅ TC ) Triplepunkt des Wasser TK = 273,16 K Bei -273,15°C hat ein Gas theoretisch keinen Druck und kein Volumen. Dieser natürlicher Fixpunkt wird als absoluter Nullpunkt einer absoluten Temperaturskala (der Kelvinskala) definiert. T [K ] = 273,15 + Tc [°C ] Umrechnung von Celsius in die Kelvinskala Temperturdifferenzen in Kelvin und Celsius-Skala sind gleich. Es gibt keine negativen absoluten Temperaturen,TK=0 prinzipiell nie erreichbar. Isotherme Zustandsänderung Zustandsänderung findet bei konstanter Temperatur statt. p1 ⋅ V1 = p2 ⋅ V2 p Gesetz von Boyle-Mariotte: n ⋅ R⋅Tconst p(V) = V T3 T2 T1 V Versuch Boyle-Mariotte Zustandsgleichung idealer Gase P1V1 P2V2 = = const T1 T2 Allgemeine Zustandsgleichung idealer Gase (Lord Kelvin) p1 ⋅ V1 = n ⋅ R ⋅ T n : Zahl der Mole R= 8,317 J/Mol K Allgemeine Gaskonstante Für ein ideales Gas ist unabhängig von der Gasart, bei einem Normaldruck von 1013,25 hPa und einer Normaltemperatur von 0°, das molare Volume Vm,0=22,4 liter/mol Zustandsänderungen des idealen Gases im p-V-Diagramm p Isotherme : T=const Isobare : P=const Isochore : V=const V Die molekulare Deutung der Temperatur : Kinetische Gastheorie Definition des idealen Gases: Moleküle verhalten sich wie harte Kugeln, d.h. sie führen nur elastische Stöße aus und zeigen keine Anziehung und kein Eigenvolmen. - bei Normalbedingungen ca. 3*1019 Molküle pro cm3 - mittlere freie Weglänge ca. 10-7 m. Demonstration : Rüttler Der Gasdruck - mikroskopisch betrachtet Moleküle treten mit mittlerer Geschwindigkeit <v> in das Volumen dV ein dV = A ⋅ v x ⋅ dt V dV Anz. Moleküle, die pro Zeit auf die Wand treffen A⋅ v x 1 dV 1 dN = N = N⋅ ⋅ dt V 6 V 6 Druck = Kraft Anz. Stöße Impulsübertrag = Zeit Fläche Fläche P= F dN 2mv 1 N 2mv = ⋅ = Av⋅ A dt A 6V A 2N 1 2N 2 P= ⋅ mv = ⋅ Ekin 3V 2 3V N x Gleichverteilungssatz : Äquipartitionsgesetz Im statistischen Gleichgewicht ist die kinetische Energie eines Moleküls pro Freiheitsgrad im Mittel ½ kBT. Die mittlere Energie eines einatomigen Gases beträgt demnach 3 N ⋅ k BT 2 Für mehratomige Moleküle können auch Rotationen und Schwingungen beitragen, dann gilt f ⋅N Ekin = k BT 2 Die Gesamtzahl der Freiheitsgrade, f, eines Gasmoleküls ist die Summe der Translations-, der Schwingungs- und der Rotationsfreiheitsgrade Ekin = Die Boltzmannkonstante ist das Verhältnis aus Gaskonstante und Avogadrokonstante kB= R/NA= 1,38 ·10-23 J/K Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung Gefragt ist nach der Anzahl Moleküle dN mit Geschwindigkeiten zwischen v und (v+dv) : dN = N ⋅ f ( v ) dv f(v) : die Verteilungsfunktion der Geschwindigkeiten f(v) 90 K m ⎛ ⎞ f ( v) = 4 ⋅ π ⋅ v ⋅ ⎜ ⎟ e ⎝ 2 ⋅π ⋅ k ⋅ T ⎠ 2 800 X10-6 3 2 600 300 K 400 900 K 200 0 0 2000 4000 v[m/s] 6000 8000 m⋅ v 2 − 2⋅k ⋅T Wärmemenge und Wärmekapazität - Wärme ist eine Form von Energie (wird also in Einheit Joule gemessen) - Die einem System zugeführte Wärme erhöht seinen Energieinhalt. - Q bezeichnet die einem System zugeführte oder entzogene Wärmemenge Die zugeführte Wärmemenge ist proportional zu Masse und Temperaturänderung ∆Q = c ⋅ m ⋅ ∆T = C ⋅ ∆T C [J/K] : Wärmekapazität c [J/kgK] : spezifische Wärmekapazität Neben der spezifischen Wärmekapazität wird auch häufig die molare Wärmekapazität cm [J/(Mol*K)] verwendet (Wärmekapazität pro Mol) cm = C n n : Anzahl Mol eines Stoffes Messung des elektrischen und mechanischen Wärmeäquivalents Joulesches Experiment 1cal=4,18 Joule=4,18 Ws Versuch Kalorimetrie Die spezifische Wärme cS eines Stoffes kann in einem Mischungskaloriemeter bestimmt werden. T0 S T0w Tm Tm : Mischungstemperatur cw ⋅ mw ⋅ (Tm − T0 w ) = cS ⋅ mS ⋅ (T0 S − Tm ) Die Volumenarbeit eines idealen Gases Die Arbeit, dW, die ein Gas gegen eine äußere Kraft leistet, wird Volumenarbeit genannt. (Die Arbeit hat ein negatives Vorzeichen, weil dem System Energie entzogen wird) Gas P=F/A dW = − PdV Wisobar = − P0 (V2 − V1 ) Wisotherm V2 = − ∫ PdV = − nRT ln V1
