Interferenz an dünnen Schichten

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Interferenz an dünnen Schichten - Grundwissen
Bei der Interferenz an dünnen
Schichten fällt Licht aus der Luft
(Brechungsindex 1) unter dem
Winkel der Weite ε auf eine
dünne Schicht mit der Dicke d und
dem Brechungsindex n, die sich
oberhalb einer weiteren Schicht mit dem
Brechungsindex n’ befindet. Ein Teil des
Lichts (1) wird an der Oberfläche (A)
reflektiert, ein anderer Teil des Lichts (2)
wird beim Eintritt in die Schicht zum Lot hin
gebrochen, an der Unterseite der Schicht (B)
reflektiert und beim Austritt aus der Schicht (C) vom Lot weg erneut gebrochen. Schließlich fallen die
beiden Teilstrahlen wieder zusammen und interferieren.
Gesucht ist der optische Gangunterschied ∆ = n AB + n BC − AP
=
BC = AB
2 n AB − AP der beiden, ab der
Strecke PC wieder parallelen Wellenfronten (1) und (2).
Zuerst gilt im rechtwinkligen Dreieck ADB AB =
AP = AC ⋅ sin( ε) . Damit ergibt sich ∆ = 2 n ⋅
d
sowie im rechtwinkligen Dreieck ACP
cos( ε′)
d
− AC ⋅ sin(ε)
cos(ε′)
.
Weiter gilt im rechtwinkligen Dreieck ADB
DB = d ⋅ tan(ε ′)
und – weil das Dreieck ABC
gleichschenklig ist –
AC = 2 ⋅ DB
und damit
AC = 2 ⋅ d ⋅ tan(ε′) .
d
n
∆ = 2n ⋅
− 2 ⋅ d ⋅ tan(ε ′) ⋅ sin(ε ) = 2 d ⋅ (
− tan(ε′) ⋅ sin(ε)) .
cos( ε ′)
cos( ε′)
Mit dem Brechungsgesetz n =
Damit
gilt
nun
sin( ε)
und einigen trigonometrischen und algebraischen Umformungen
sin( ε′)
ergibt sich schließlich ∆ = 2 d ⋅ n 2 − sin 2 (ε ) .
Bei der Reflexion am optisch dichteren Medium tritt immer ein Phasensprung von π , der einem
zusätzlichen Gangunterschied von λ / 2 entspricht, auf. Dies ist wegen n > 1 auf jeden Fall bei der
Reflexion am Punkt A und im Fall n ' > n auch am Punkt B der Fall, was den Phasensprung am Punkt A
dann wieder ausgleicht. Somit ergeben sich folgende Fälle:
Falls n ' < n : ∆ = 2 d ⋅ n 2 − sin 2 (ε) − λ / 2 und falls n ' > n : ∆ = 2 d ⋅ n 2 − sin 2 (ε )
Somit ergeben sich für den häufiger auftretenden Fall n ' < n folgende Interferenzbedingungen:
Verstärkung und damit Helligkeit für ∆ = k ⋅ λ mit k = 0; 1; 2 ; 3; ... , woraus folgt
2 d ⋅ n 2 − sin 2 (ε) = ( k + 1) ⋅ λ , k = 0; 1; 2 ; 3; ...
Auslöschung und damit Dunkelheit für ∆ = ( k + 12 ) ⋅ λ mit k = 0; 1; 2 ; 3; ... , woraus folgt
2 d ⋅ n 2 − sin 2 (ε) = ( k + 12 ) ⋅ λ , k = 0; 1; 2 ; 3; ...
2011 Thomas Unkelbach
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