Lösung zu Aufgabe 17 - Fachbereich Mathematik

Fachbereich Mathematik
Thomas Markwig
Sommersemester 2010, Blatt 5
Stefan Steidel
Grundlagen der Mathematik 1
Aufgabe 17: Bestimme für die folgenden komplexen Zahlen Re z, Im z, arg z, |z|, z
und z−1:
4i
(2 + 2i)7
(a) z = i − 1
(b) z =
(c) z =
1+i
(1 − i)3
Lösung.
(a) Sei z = i − 1 = −1 + i. Dann gilt Re z = −1, Im z = 1 und z = −1 − i = −(1 + i).
Für den Betrag von z rechnen wir
p
√
√
|z| = (Re z)2 + (Im z)2 = 1 + 1 = 2
und damit erhalten wir das Inverse von z als
−1 − i
1 1
z
= − − i.
z−1 = 2 =
|z|
2
2 2
Zur Ermittlung von α = arg(z) betrachten wir die Zahl
Betrag 1, für die gilt
z
= cos(α) + i sin(α),
|z|
d.h. cos(α) = −
(b) Sei z =
4i
.
1+i
√
2
2
und sin(α) =
√
2
,
2
z
|z|
= −
√
2
2
+
√
2
i
2
vom
also α = 34 π.
Wir formen z zunächst in eine Darstellung der Form a + bi um:
z=
4i
4i · (1 − i)
4i − 4i2 4i + 4
=
=
=
= 2 + 2i.
1+i
(1 + i) · (1 − i)
1 − i2
2
Dann gilt Re z = 2, Im z = 2 und z = 2 − 2i. Für den Betrag von z rechnen wir
p
√
√
√
|z| = (Re z)2 + (Im z)2 = 4 + 4 = 8 = 2 2
und damit erhalten wir das Inverse von z als
z
1 1
2 − 2i
z−1 = 2 =
= − i.
|z|
8
4 4
Zur Ermittlung von α = arg(z) betrachten wir die Zahl
Betrag 1, für die gilt
z
= cos(α) + i sin(α),
|z|
d.h. cos(α) =
(c) Sei z =
(2+2i)7
.
(1−i)3
√
2
2
und sin(α) =
√
2
,
2
z
|z|
=
2+2i
√
2 2
=
√
√
2
2
+
i.
2
2
vom
also α = π4 .
Wir formen z zunächst in eine Darstellung der Form a + bi um:
(2 + 2i)7 27 · (1 + i)7 · (1 + i)3 27 · (1 + i)10
=
=
(1 − i)3
(1 − i)3 · (1 + i)3
23
= 24 · (1 + 2i + i2)5 = 24 · (2i)5 = 29 · i = 512i.
z=
1
i
Damit gilt offensichtlich Re z = 0, Im z = 512, z = −512i, |z| = 512, z−1 = − 512
π
und arg(z) = 2 .