FERIENSERIE, Aufgaben 1-5

Dr. P. Thurnheer
D-CHAB, D-BIOL
Grundlagen der Mathematik I
(Analysis B)
ETH Zürich
FS 10
FERIENSERIE, Aufgaben 1-5
1.
a) Stellen Sie folgende Mengen in der komplexen Zahlenebene C dar:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
{z
{z
{z
{z
{z
{z
{z
{z
∈ C; |z| = 1}
√
∈ C; |z| ≥ 5}
∈ C; arg z = π4 }
∈ C; |z| ≤ 3, π ≤ arg z ≤ 3π
}
2
∈ C; 1 ≤ |z| ≤ 2}
∈ C; 2 ≤ |z| ≤ 4, − π3 ≤ arg z ≤ − π6 }
∈ C; arg z = π6 , Re z ≤ 2}
∈ C; |z| ≤ 2, Im z ≥ 1}.
b) Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form z = a + ib :
1. z =
2. z =
5−5i
−1+2i
1
)3
( 1+2i
2. Bestimmen Sie Re z, Im z, |z|, arg z, wenn für die komplexe Zahl z gilt
a)
|1/z| = 3, arg z̄ = 240◦
b)
√
−1 + i 3
√
z=
1+i 3
c)
|iz̄| = 5, Re (iz̄) = 3
d)
arg(iz̄) = 300◦ , Im
z
=2
i
Bitte wenden!
3.
a) Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form z = a + ib, a, b ∈ R.
i)
√
√
− 3 + 1 − i( 3 + 1)
z1 =
1+i
ii)
√
z2 = ( 3 + i)6 (1 − i)
iii)
z3 = e−iπ/4
iv)
z4 =
1
e2π/3
v)
z5 = ie−iπ/6
vi)
z6 = ii
b) Bestimmen Sie zusätzlich
i)
arg z1
ii)
(z3 )2 z4
iii)
z4
z5
Siehe nächstes Blatt!
4. Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z, für die gilt
a)
z2 = i
b)
z 3 = −1
c)
√
3 + i)
81(
√
z4 =
− 3+i
d)
4z z̄ + (z − z̄)2 = 3
e)
iz 2 + 2z +
5.
√
3=0
a) Bestimmen Sie sin 75◦ , cos 75◦ sowie sin 105◦ , cos 105◦ theoretisch genau. Benützen Sie dazu die komplexe Exponentialfunktion eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ,
ϕ ∈ R.
b) Drücken Sie sin 3α respektive cos 3α durch sin α respektive cos α aus, indem Sie
wiederum die komplexe Exponentialfunktion verwenden.
c) Wie lautet die Linearfaktorzerlegung von x4 − 2x2 − 8 ?
d) Welches Polynom hat die drei Nullstellen 1, 1 + i, 1 − i ?
Abgabe: Freitag, 5. März 2010, in der Übungsstunde.