ϕ ϕ ϕ i ϕ ϕ ϕ ϕ - TU Bergakademie Freiberg

Aufgaben zur Vor- und Nachbereitung für naturwissenschaftliche Studiengänge
Komplexe Zahlen
1. Für die komplexen Zahlen z1 = i und z 2 = −2 − 4i berechne man :
z
z ⋅z
z1 + z 2 , z1 − z 2 , z1 ⋅ z 2 , 1 , z 2 ⋅ z1 , 2 2 .
z2
z1
2. Welche der folgenden Ungleichungen sind richtig?
a) − 2i 2 < 5
b) (i + 3) 2 > 0
d) sin ϕ ≤ e iϕ
e) (1 − i ) 4 > 0
c) i 2 + 3 > 0
f)
21 i − 5 < 7 − 3i
3. Von der komplexen Zahl z bestimme man Real- und Imaginärteil:
1 + (2i + 1)(i − 2)
b) z = 64(sin 2 ϕ − i 3 + cos 2 ϕ ) −3 c) z = 3 exp( 56 π i )
a) z =
2
(2 − i) − (2 − i )
4. Berechnen Sie den absoluten Betrag und das Argument der komplexen Zahlen, geben Sie
die trigonometrische Form (Polarform) an:
2i
1
(1 − i ) 2
2−i
a) z =
−
b) z =
c)
z
=
3i + (i − 1) 2
2−i i−2
i +1
5. Man stelle folgende Zahlen in der trigonometrischen Form und in der Gestalt x + iy dar.
a) (2i − 3 ) 8
(
b) − 32 − i
3
2
)
10
c) exp(2 − i π3 )
6. Welchen Betrag und welches Argument besitzt die komplexe Zahl z?
cos(2ϕ ) + i sin(2ϕ )
a) z = 2
b) z = (3 cos(ϕ ) − 3i sin(ϕ ))(cos(3ϕ ) + i sin(3ϕ ))
cos(ϕ ) − i sin(ϕ )
7. Skizzieren Sie die Teilmenge der komplexen Ebene, deren Elemente z = x + iy die
folgenden Bedingungen erfüllen:
a) 0 < 2 Im( z ) < z
b) z + 2 − i ≥ 2
e) 1 ≤ z 2 < 4 und Re(iz ) − Im( z ) > 0
c) Re( z 2 ) = c (c reell)
d) z − Im( z ) = 1
f) z z ≤ 1 und − Im( z ) ≤ Re( z ) ≤ Im( z )
8. Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen für die gilt:
a) z 3 = −i
b) z 5 = 5 + 8i
9. Geben Sie alle Lösungen der Gleichungen im Bereich der komplexen Zahlen in der
arithmetischen Form an:
3
a) z 6 − 1 = 0
b) z 4 +
i = 12
2
c) z 5 + 10 = 5i
d) z 2 (1 + i ) = −2 z