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SS 2016
Technische Universität Berlin
09.06.2016
Fakultät II – Mathematik und Naturwissenschaften
Institut für Mathematik
StR.i.HD. Albrecht Gündel-vom Hofe
7. Aufgabenblatt zur
„Mathematik II für die Beruflichen Fachrichtungen“
(Abgabe der Hausaufgaben: 16.06.2016 in der VL)
Ü 59. Aufgabe:
Tonfrequenzen werden in Hertz (Hz), d.h. in Schwingungen pro Sekunde, gemessen. Unter
Anwendung geeigneter Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen erklären wir
nun das Phänomen der sogenannten Schwebung:
Sind ω1, ω2 ∈R zwei dicht beieinander liegende Frequenzen, so gilt für die additive Überlagerung der zu beiden Frequenzen gehörenden Sinusschwingungen:
(∗) y = f (t ) = sin (2π ω1 t ) + sin (2π ω 2 t ) = A (t ) ⋅ sin (2π ω t ) mit A (t ) = 2 ⋅ cos (2π Δω t )
mit einer entsprechenden mittleren Frequenz ω der Überlagerungsschwingung und einer
entsprechenden Schwebungsfrequenz Δω . Man ermittle beide Werte in Abhängigkeit der
gegebenen Ausgangsfrequenzen ω1 und ω2 .
Tipp: Man greife auf Aufgabe 57 zurück.
60. Aufgabe:
Ausgehend vom Ergebnis der Aufgabe 59 ermittle man für die jeweils gegebenen Frequenzpaare ω1, ω2∈R die zugehörige mittlere Frequenz ω sowie die Schwebungsfrequenz Δω .
Außerdem lasse man von einem Grafikprogramm den Graphen der entsprechenden Überlagerungsschwingung y = f (t ) = A (t ) ⋅ sin (2π ω t ) mit A (t ) = 2 ⋅ cos (2π Δω t ) als zeitabhängiger Amplitude über der t-Achse zeichnen. Für welche t∈R gilt f (t ) = 0 ?
Ü (a) ω1 = 1.9 Hz , ω2 = 2.1 Hz ,
Ü (c) ω1 = 439 Hz , ω2 = 441 Hz ,
Ü (b) ω1 = 44 Hz , ω2 = 40 Hz ,
H (d) ω1 = 627 Hz , ω2 = 633 Hz .
6,0
61. Aufgabe:
Zu folgenden komplexen Zahlen z∈C gebe man - nach eventueller Umformung - jeweils
Re z, Im z , z sowie ⎪z⎪ und arg z - und zwar im Grad- und Bogenmaß - an. Veranschaulichen Sie außerdem geometrisch jeweils z und z in der Gaußschen Zahlenebene:
Ü (a) z = − 1 + i ,
Ü (b) z =
5 −i ,
Ü (c) z = (2 − i )
3
,
Ü (d) z =
2
,
1−i
3 −i
.
1+i
Tipp zu (d) und (h): Führen Sie für den Nenner geschickt die 3. Binomische Formel ins Feld.
H (e) z = 1 + 3 i , H (f) z = − 2 − 2 i ,
H (g) z = (− 1 + i )
8
, H (h) z =
12,0
7. Aufgabenblatt
„Mathematik II für Berufl. Fachr.“
Seite 2
62. Aufgabe:
Gegeben seien die komplexen Zahlen u = 2 + 3i , v = 5 − i und w = 1 + i (u,v,w ∈C ).
2
Man berechne (unter Zuhilfenahme von i = −1 ) :
Ü (a) z = 2u + 3v ,
Ü (e) z =
Ü (b) z = 3u − 2v ,
1
, H (f) z = u , Ü (g) z =
v
w
H (c) z = 3u⋅v + w
⎛w⎞
⎜ ⎟
⎝w⎠
2
Ü (h) z =
,
2
, Ü (d) z = w
u2
,
v ⋅w
3
H (j) z =
,
v2
.
u ⋅w
8,0
63. Aufgabe:
Die folgenden komplexen Zahlen wandle man in die Form z = x + iy mit x,y∈R um:
Ü (a) z = ( 2 +
3 i )⋅(3 −
2 i ) , Ü (b) z = ( 3 + 2 2 i ) ⋅ ( 3 − 2 2 i ) ,
Ü (c) z = ( a + b i ) ⋅ ( 2a + b i ) ,
Ü (e) z =
Ü (h) z =
56 + 33 i
,
12 − 5 i
a+
b i
a−
b i
H (d) z = ( c −
Ü (f) z =
−
1 − 20 5 i
b+
a i
b−
a i
7−2 5 i
,
, H (j) z =
d i )⋅(− c − 2 d i ) ,
H (g) z =
63 + 16 i
,
4 +3i
3a + 4b i 4a − 3b i
+
.
4a − 3b i 4a + 3b i
8,0