Übungsblatt - Fachbereich Mathematik und Statistik

Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik
M. Dreher
26.10.2007
Übungen zur Mathematik für Physiker I, Blatt 2
Die Lösungen sind abzugeben am Freitag, 2.11.2007, vor Beginn der Vorlesung.
1. (a) Der Einheitskreis (also die Kreislinie) in der komplexen Zahlenebene sei mit S 1 bezeichnet. Zeigen Sie: wenn z ∈ S 1 , dann ist z −1 = z. Wenn z, w ∈ S 1 , dann ist auch
z · w ∈ S 1 und z/w ∈ S 1 .
(b) Finden Sie alle Zahlen z ∈ C mit z 2 = 1; und zeichnen Sie diese in der komplexen
Zahlenebene. Analog für die Gleichungen z 4 = 1, z 5 = 1 und z 3 = −1.
(c) Stellen Sie in der Form a + bi dar:
1
,
i
1
,
1+i
1
,
1−i
k
i ,
1+i
1−i
k
,
k ∈ Z.
Pn
k
2. Seien a0 , a1 , . . . , an ∈ R, und es sei P (z) =
k=0 ak z , für z ∈ C. Zeigen Sie: falls
P (z0 ) = 0, dann ist auch P (z0 ) = 0, und umgekehrt.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst z · w = z · w und z + w = z + w. Wenden Sie diese beiden Regeln immer wieder an.
3. Es seien OA1 B1 , OA2 B2 und OA3 B3 drei gleichseitige Dreiecke in der komplexen Zahlenebene, die den Ursprung O als Ecke gemeinsam haben. Die Dreiecke dürfen verschieden
groß sein und sich auch überlappen. Jedes der 3 Dreiecke sei so orientiert, daß die Ecke
bei Bj sich ergibt durch Drehung von Aj um O mit dem Winkel von 60◦ .
Es sei M1 der Mittelpunkt der Strecke B1 A2 , M2 der Mittelpunkt der Strecke B2 A3 , und
M3 der Mittelpunkt der Strecke B3 A1 .
Man zeige, daß das Dreieck M1 M2 M3 auch gleichseitig ist.
Hinweis: Multiplikation komplexer Zahlen
4. Es sei z1 z2 z3 ein beliebiges Dreieck in der komplexen Zahlenebene. Auf jeder der drei
Kanten dieses Dreiecks errichten wir nach außen“ je ein Dreieck mit den Innenwinkeln 30 ◦ ”
30◦ -120◦ . Dabei sollen die 30◦ –Winkel jeweils an der Kante des Dreiecks z 1 z2 z3 anliegen.
Die Eckpunkte an den 120◦ –Winkeln sollen w1 , w2 und w3 heißen. Zeigen Sie, daß das
Dreieck w1 w2 w3 gleichseitig ist. (Auch bekannt als Satz von Napoleon.)
Hinweis: Multiplikation komplexer Zahlen
5. Freiwillige Zusatzaufgabe
Es sei z0 ∈ C gegeben, mit |z0 | < 1. Wir definieren eine Funktion
w = w(z) =
z − z0
,
zz0 − 1
z ∈ C,
zz0 6= 1.
Zeigen Sie: |z| < 1 ⇐⇒ |w(z)| < 1. Was bewirkt die Abbildung z 7→ w(z) (geometrisch
formuliert) ?
Hinweis: Zeigen Sie zuerst |zz0 − 1|2 − |z − z0 |2 = (1 − |z|2 )(1 − |z0 |2 ). Das müßten Sie kennen.
Aufgaben zum Selberkorrigieren bzw. Gegenseitigkorrigieren
6. Man stelle folgende Zahlen in trigonometrischer Form und in kartesischer Form dar:
(1 − i)6 ,
e3πi ,
√ 3
2−i 3 ,
√ 8
i− 3 ,
q
q
√
√ 3
2− 3+i 2+ 3 ,
√ !6
3
3
+i
,
2
2
π
e3+i 3 ,
(1 − i)13 .
Antworten:
√
√
√
8(cos π
+ i sin π
) = 8i, −1, −10 − 9 3i ≈ 18.52(cos 237.32◦ + i sin 237.32◦ ), −128 + 128 3i, −4 2(1 + i) = 8(cos 5
π + i sin 5
π),
2
2
4
4
√
3
−27, 1
e
(1
+
i
3),
64(i
−
1)
2