Übungsblatt 7 - Goethe

Elementarmathematik II
Dr. André Kappes
Matteo Costantini
Jonathan Zachhuber
Goethe-Universität Frankfurt
Institut für Mathematik
Sommersemester 2015
26. Mai 2015
Übungsblatt 7
Aufgabe 1 (4 Punkte)
(a) Gibt es ein Dreieck mit Winkeln α, β, γ und gegenüber liegenden Seiten der Länge
a, b, c, sodass gilt:
3
c = 7, cos(α) =
5
√
und so, dass der Umfang 12 + 4 2 beträgt? Falls ja, bestimmen Sie die Längen der
anderen Seiten und skizzieren Sie es.
(b) Wie viele Dreiecke mit Winkeln α, β, γ und gegenüberliegenden Seiten der Längen a,
b, c gibt es, so dass
sin(α) = 21 ,
α+β =
11π
12
und b = 4
gilt? Bestimmen Sie die Seitenlänge c für jedes solche Dreieck und skizzieren Sie es.
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Beweisen Sie die Additionstheoreme für den Fall α, β ∈ (0, π2 ), aber α + β > π2 :
sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β),
cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β).
Aufgabe 3 (4 Punkte)
√
1
3
(a) Gegeben seien die komplexen Zahlen z = 1 − 2 i und w = − +
i. Berechnen Sie
2
2
z + w,
z · w,
z,
|w| und w−1
und zeichnen Sie z, w und die Ergebnisse der Rechnungen in der komplexen Zahlenebene
ein.
(b) Zeigen Sie: Eine komplexe Zahl z 6= 0 hat genau dann Betrag 1, wenn gilt: z −1 = z.
(c) Zeichnen Sie die Mengen
)
√
1
3 + 2 {z ∈ C : |z − 2| ≤ |z + 3|} und {z ∈ C : |z − i | ≤ 1} ∩ z ∈ C : z − −
i ≤ 1
2
2
(
in der komplexen Zahlenebene.
Abgabe bis 12 Uhr am Montag, den 1. Juni in die entsprechenden Kästen im 3. Stock
der Robert-Mayer-Straße 6.