Übung 5 - IWR Heidelberg

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2016/17
Prof. Andreas Dreuw, Manuel Hodecker, Michael F. Herbst
Ausgabe:
Abgabe:
Übungsblatt 5
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Do 17.11.2016
Fr 25.11.2016 10:00
Σ
/ 24 P
Aufgabe 5.1 (3 P). Es seien a, b ∈ C. Zeigen Sie, dass
2
2
2
2
|a + b| + |a − b| = 2 |a| + |b| .
Interpretieren Sie die Gleichung geometrisch.
Aufgabe 5.2 (3 P). Vereinfachen Sie
(a) 43 log2 x
(b) e
x+ 21
(1.5 P)
ln x
(1.5 P)
Aufgabe 5.3 (1 P). Drücken Sie log10 (x) mittels ln(x) aus.
Aufgabe 5.4 (5 P). Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen, wobei z ∈ C
(a) z 3 = −1
(2 P)
(b) z = (1 − ı)1/4
(3 P)
Aufgabe 5.5 (3 P). Bestimmen Sie die natürlichen Logarithmen der folgenden Zahlen in
der komplexen Zahlenebene
(a) −1
(1.5 P)
(b) 1 + ı
(1.5 P)
Aufgabe 5.6 (3 P). Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der kartesischen Form
a + ıb, wobei a, b ∈ R geeignet.
π
(a) eı 4
(0.5 P)
(b) ıı
(c) exp 2e
(0.5 P)
ıπ
4
(1 P)
(d) exp reiϕ , wobei r, ϕ ∈ R
(1 P)
Aufgabe 5.7 (6 P). Für jede reelle Zahl x ∈ R und jedes n ∈ N gilt
n
(cos(x) + ı sin(x)) = cos(n x) + ı sin(n x).
(1)
Dies ist der Satz von Moivre.
(a) Beweisen Sie den Satz von Moivre (1) mittels der Eulerschen Formel.
1
(1 P)
(b) Setzen Sie n = 2. Zeigen Sie, dass Sie durch Bestimmung des Real- und Imaginärteils
auf der linken bzw. rechten Seite von (1) die sogenannten Doppelwinkelfunktionen
erhalten:
(2 P)
cos(2x) = 2 cos2 (x) − 1
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
(c) Bestimmen Sie auf analoge Weise die Funktion für den vierfachen Winkel des Cosinus,
also cos(4x). Geben Sie das Ergebnis als Potenzen von cos an.
(2.5 P)
(d) Prüfen Sie anhand eines Beispiels, ob der Satz (1) auch für positive, nicht-ganze n gilt.
(0.5 P)
Aufgabe 5.8 (2 P, Bonus). Diese Aufgabe beschäftigt sich mit der geometrischen Interpretation einiger Operationen auf der komplexen Zahlenebene. Betrachten Sie zwei allgemeine
komplexe Zahlen
z1 = r1 eıϕ1 = x1 + ıy1
z2 = r2 eıϕ2 = x2 + ıy2
mit r1 , r2 , ϕ1 , ϕ2 , x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R geeignet.
Zunächst wollen wir verstehen in welchem geometrischen Bezug die komplex konjugierte
Zahl z1∗ zu z1 steht. Wir stellen beispielhaft z1 , z2 und ihre komplex konjugierten dar:
Im
z1
z2
Re
z2∗
z1∗
Wie man leicht sieht entspricht der komplexen Konjugation geometrisch eine Spiegelung an
der reellen Achse.
Versuchen Sie auf analoge Weise folgende Operationen geometrisch zu beschreiben:
(a) Unäres Minus: Der Effekt eines einfachen “−” vor einer komplexen Zahl, z.B. −z1 .
(b) Addition: Betrachten Sie z.B. die kartesische Darstellung von z1 + z2 .
(c) Multiplikation: Betrachten Sie die Polarform von z1 z2
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