Einführung der komplexen Zahlen Erkläre für geordnete Paare (a, b

Einführung der komplexen Zahlen
Erkläre für geordnete Paare (a, b) reeller Zahlen a, b
eine Addition und Multiplikation:
(a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2),
(a1, b1) · (a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1b2 + a2b1).
Spezielle Paare:
a) (a, 0) wird mit der reellen Zahl a identifiziert,
b) i = (0, 1) heißt imaginäre Einheit.
Daraus ergibt sich die algebraische Normalform einer komplexen Zahl z:
z = (a, b) = a + bi,
a, b ∈ R.
Dann heißt a = Re zqder Realteil, b = Im z der
Imaginärteil und |z| = a2 + b2 der absolute Betrag
von z.
Also: Rechnen mit komplexen Zahlen bedeutet Rechnen mit Ausdrücken der Form a + bi, (a, b ∈ R)
wobei die üblichen Rechenregeln für reelle Zahlen
benutzt und i2 = −1 beachtet werden.
Bsp.:
(1 + 2i)(2 + 3i) = 2 + 4i + 3i + 6i2 = −4 + 7i.
Schreibt man mit einem φ ∈ R
Re z = |z| cos φ,
Im z = |z| sin φ,
so ergibt sich die trigonometrische Normalform:
z = |z|(cos φ + i sin φ).
φ = arg z heißt ein Argument von z und ist bis auf
ganzzahlige Vielfache von 2π bestimmt.
Multiplikation (Division) komplexer Zahlen bedeutet dann Multiplikation (Division) der Beträge und
Addition (Subtraktion) der Argumente. Insbesondere gilt die folgende Formel von Moivre für Potenzen einer komplexen Zahl z:
z n = |z|n(cos φ + i sin φ)n = |z|n(cos nφ + i sin nφ).
Bsp.:
µ
µ
¶
µ
¶¶6
√
π
π
( 3 − i)6 = 26 cos −
+ i sin −
= −64.
6
6