Mathematik für Physiker 1 Merkblatt: Komplexe Zahlen

FB 3: Mathematik/Naturwissenschaften
Dr. Daniel Habeck
Mathematik für Physiker 1
Merkblatt: Komplexe Zahlen
Definition:
(1) Die Menge C := {a + b · i | a, b ∈ R} heißt Menge der komplexen Zahlen.
(2) Für eine komplexe Zahl z = a + b · i heißt a = Re z der Realteil und b = Im z der
Imaginärteil von z.
(3) Die komplexe Zahl i heißt imaginäre Einheit.
(4) Der Betrag |z| von z = a + b · i ist definiert durch |z| =
√
a2 + b2 .
(5) Die Zahl z = a − bi heißt komplex konjugierte Zahl von z = a + b · i.
Definition:
Für z = a + bi und w = c + di definiert man die Addition z + w und Multiplikation
z · w komplexer Zahlen durch
z + w = (a + c) + (b + d)i und z · w = (ac − bd) + (ad + bc)i .
Satz (Rechenregeln für komplexe Zahlen):
Für komplexe Zahlen z, w ∈ C gilt:
(1) Re z = 12 (z + z)
(2) Im z =
1
2i
(z − z)
(3) z + w = w + w
(5) |z|2 = z · z
(4) z · w = z · w
(6)
1
z
=
z
|z|2
(für z 6= 0)
Polarkoordinatendarstellung:
Für jede komplexe Zahl z 6= 0 gibt es eine eindeutige Darstellung der Form
z = r(cos ϕ + i sin ϕ)
mit r = |z| und einem Winkel ϕ ∈ [0, 2π). Dabei ist ϕ derjenige Winkel, den die komplexe
Zahl z mit der positiven Re-Achse bildet. Man nennt ϕ das Argument von z und schreibt
ϕ = arg(z).
Satz (Formel von Euler):
(1) Für alle x ∈ R gilt: eix = cos x + i · sin x.
(2) Für alle x, y ∈ R gilt: ei(x+y) = eix · eiy
Darstellungsformen für komplexe Zahlen:
Jedes z ∈ C kann auf drei Arten dargestellt werden:
• Kartesische Darstellung: z = a + b · i mit a = Re z und b = Im z
• Polarform: z = |z|(cos ϕ + sin ϕ) mit ϕ = arg(z)
• Eulerform: z = |z|eiϕ mit ϕ = arg(z)
Satz:
Für komplexe Zahlen z = r1 · eiϕ1 und w = r2 · eiϕ2 6= 0 gilt:
z
r1 i(ϕ1 −ϕ2 )
z · w = (r1 · r2 ) · ei(ϕ1 +ϕ2 )
und
=
·e
.
w
r2