Rechenmethoden WiSe 2010/11

Rechenmethoden WiSe 2010/11 - Blatt 3
erstellt von Johannes Held: [email protected]
Aufgabe 1
Berechnen Sie für die beiden Zahlen a1 , a2 ∈ C jeweils a1 +a2 , a1 ·a2 und a1 /a2 .
Geben Sie Real- und Imaginärteil, sowie den Betrag und das Argument des
Ergebnis an. Geben Sie eine geometrische Interpretation für Addition und
Multiplikation von komplexen Zahlen an.
a) a1 = 0, a2 = i
b) a1 = 0, a2 = 1
c)
a1 = 1, a2 = i
d) a1 = r1 eiφ1 , a2 = r2 eiφ2
e)
a1 = −3 + 4i, a2 = 3 + 4i
f)
g) a1 = r1 eiφ1 , a2 = 3 −
√
a1 = a + ib, a2 = a∗1
3i
Aufgabe 2
Lösen Sie die folgenden Gleichungen für z ∈ C
a)
z/(1 + i) − z/(1 − i) = 1 + (z − z ∗ ) sin (π + i ln3)
b) z 2 + z + 1 = 0
d)
(z 2 − 1)2 − 1 = 0
f)
z5 =
√
3/2 + 3 i/2
c)
√
z 8 = (1 + i)/ 2
e)
z 2 = (z ∗ )2
g)
sin(z) = 2
Aufgabe 3
Leiten Sie das Additionstheorem für cosh(x + y) her.
Aufgabe 4
Zeigen Sie mithilfe der Reihendarstellung der e-Funktion, dass gilt
ex · ey = ex+y