Die komplexe Exponentialfunktion

Die komplexe Exponentialfunktion
Wir definieren für z ∈ C eine Funktion E durch
E(z) :=
∞
X
zk
k=0
k!
=1+z+
z2 z3
+
+ ...
2!
3!
Die Reihe konvergiert für alle z ∈ C. Wir zeigen, daß E(z) dem Additionstheorem
E(x + y) = E(x) · E(y)
∀ x, y ∈ C
genügt. Wegen der absoluten Konvergenz können Potenzreihen miteinander
multipliziert werden. Dabei benutzt man das Cauchyprodukt, weil hier die
Potenzen gleich ‘richtig geordnet’sind.
Aus der Definition des Cauchyprodukts folgt
∞
∞
X
xk X y k ·
E(x) · E(y) =
k!
k!
k=0
k=0
∞ X
k
X
xj
y k−j j! (k − j)!
j=0
k=0
∞ X
k
X
1 k j k−j
xy
=
k!
j
k=0 j=0
=
=
∞
X
1
(x + y)k = E(x + y).
k!
k=0
Offenbar ist
E(1) = 1 +
1
1
1
+ + + . . . = e.
1! 2! 3!
Aus dem Additionstheorem folgt für n ∈ N
E(n) = E (n − 1) + 1 = E(n − 1) · E(1) = . . . = en .
Falls p = m/n eine positive rationale Zahl ist, gilt
n
E(p) = E(np) = E(m) = em ,
also ist E(p) = ep für p ∈ Q+ . Schließlich folgt aus
E(p) · E(−p) = E(p − p) = E(0) = 1,
daß E(−p) = 1/E(p) = e−p . Für p ∈ Q stimmt E(p) also mit ep überein. E(z)
ist eine Fortsetzung dieser Funktion auf die Menge der komplexen Zahlen.
Die Winkelfunktionen sin x und cos x
Wir definieren für z ∈ C zwei Funktionen S und C durch
S(z) :=
C(z) :=
∞
X
z3 z5
z 2k+1
=z−
+
∓ ...
(−1)k
(2k
+
1)!
3!
5!
k=0
∞
X
k=0
(−1)k
z 2k
z2 z4
=1−
+
∓ ....
(2k)!
2!
4!
Beide Reihen konvergieren für alle z ∈ C (absolut). Es ist leicht zu sehen,
dass gilt
S(0) = 0,
S(−z) = −S(z),
E(iz) = C(z) + iS(z),
C(0) = 1,
C(−z) = C(z),
E(−iz) = C(z) − iS(z),
also
C(z) =
1
E(iz) + E(−iz) ,
2
S(z) =
1
E(iz) − E(−iz)
2i
Wir beweisen die Additionstheoreme
C(x ± y) = C(x)C(y) ∓ S(x)S(y)
S(x ± y) = S(x)C(y) ± C(x)S(y).
Zum Beispiel ist
C(x + y) =
1
E(i(x + y)) + E(−i(x + y)) ,
2
C(x)C(y) − S(x)S(y) =
1
=
E(ix) + E(−ix) E(iy) + E(−iy)
4
1
+ E(ix) − E(−ix) E(iy) − E(−iy)
4
1
=
E(ix)E(iy) + E(−ix)E(−iy)
2
1
=
E(i(x + y)) + E(−i(x + y)) = C(x + y).
2
Speziell folgt für y = x
2
2
1 = C(0) = C(x − x) = C(x) + S(x) .
Offenbar sind S(x) und C(x) reell für reelle x. Folglich gilt für alle x ∈ R
|C(x)| ≤ 1,
|S(x)| ≤ 1.
Wir setzen diese Untersuchungen später fort und werden schließlich sehen,
daß S(x) und C(x) die bekannten Funktionen sin x und cos x sind.