Ubungen zur Analysis II SS 2006 - Mathematisches Institut Heidelberg

Mathematisches Institut der Universität Heidelberg
Prof. Dr. R. Weissauer/Dr. U. Weselmann
Übungen zur Analysis II SS 2006
Blatt 10
Abgabe bis zum 07.07.2006 um 11:00 Uhr
Bearbeiten Sie drei der vier Aufgaben!
Aufgabe 37) Zeigen Sie, dass die Funktion
1
f (x) = √
x
f : R → R,
für 0 < x < 1
für x ∈
/ (0, 1)
f (x) = 0
Lebesgue-integrierbar ist und berechnen Sie
R∞
−∞
f (x)dx. (4 Punkte)
Aufgabe 38 ) Wir betrachten die Funktionen f1 , f2 , f3 : R → R mit
f1 (x) = cos(x2 ),
f2 (x) = max{cos(x2 ), 0},
√
sin(x2 )
für
|x|
≥
π
2x2
√
(a) Zeigen Sie für b > a ≥ π:
f3 (x) =
Z
b
b
Z
f1 (x)dx =
a
f3 (x)dx +
a
lim
b→∞
b→∞
0
Z
b
√
f1 (x)dx = lim
π
b→∞
√
π.
sin(b2 ) sin(a2 )
−
.
2b
2a
f2 (x)dx = ∞.
lim
b
f3 (x) = 0 für |x| <
b
Z
Z
und
√
f3 (x)dx
existiert und ist endlich.
π
(b) Welche der drei Funktionen f1 , f2 , f3 sind auf R Lebesgue-integrierbar?
(5=3+2 Punkte)
1
Aufgabe 39) Sei X ein metrischer Raum.
(a) Zeigen Sie: sind r1 , . . . , rk positive reelle Zahlen und sind I1 , . . . , Ik Integrale auf Cc (X), die der Daniell-Bedingung genügen, so ist auch
I = r1 · I1 + . . . + rk · Ik :
f 7→ r1 I1 (f ) + . . . + rk Ik (f )
ein Integral, das der Daniell-Bedingung genügt.
(b) Zeigen Sie: Für r ∈ R ist
Ir :
Cc (R) → R,
f 7→ f (r)
ein Integral, welches der Daniell-Bedingung genügt.
(c) Zeigen Sie: Jede Funktion f : R → R ist bezüglich des Integrals Ir
Daniell-Lebesgue integrierbar, und es gilt Ir (f ) = f (r).
(5=1+2+2 Punkte)
Aufgabe 40) Eine reellwertige Funktion f : X → R auf einem metrischen
Raum X heißt unter-halbstetig in einem Punkt x ∈ X, wenn es zu jedem
> 0 ein δ > 0 gibt mit
f (y) > f (x) − für alle y ∈ Kδ (x).
f heißt unter-halbstetig, wenn f in jedem Punkt x ∈ X unter-halbstetig ist.
Zeigen Sie:
(a) Die Menge der unter-halbstetigen Funktionen bildet einen Halbverband.
(b) Ist fn % f ein monotoner Limes und sind alle fn unter-halbstetig, so ist
auch f unter-halbstetig.
(c) Eine Funktion f : X → R ist genau dann stetig, wenn f und −f unterhalbstetig sind.
(d) Eine Funktion f : X → R ist genau dann unter-halbstetig, wenn das
Urbild jedes Intervalls der Form (a, ∞) in X offen ist.
(5=2+1+1+1 Punkte)
2