¨Ubungen zur Theoretischen Physik II (Quantenmechanik I) SS 07

Übungen zur Theoretischen Physik II (Quantenmechanik I) SS 07
Blatt 9, 10 Punkte
PD Dr. habil. Stefan Kettemann, Dipl. Phys. Roman Kogler,
Dipl. Phys. Marcel Kossow, Dr. Kelly Patton, Dipl-Phys. Björn Vogt
Abgabe in den Übungsgruppen am 20.6. 2007
Aufgabe 1: Drehimpuls-Orstdarstellung (2P)
Bestimmen Sie die Ortsdarstellung der Operatoren L̂z , L̂+ , L̂− , L̂2 .
Aufgabe 2: Starrer Quanten-Körper (3P)
Der Hamiltonoperator eines starren Körpers, der im Raum um den Koordinatenursprung rotiert, lautet H =
mit I, Trägheitsmoment.
a) (1P) Geben Sie dessen Eigenwerte und Eigenfunktionen mit Entartungsgrad an.
b) (2P) Zu einem bestimmten Zeitpunkt befinde sich der Rotator im Zustand
~2
L
2I
,
ψ(ϑ, ϕ) = C(sin ϑ cos ϕ + 2 sin ϑ sin ϕ + cos ϑ) .
Berechnen Sie den Normierungsfaktor C . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung des Drehimpul~ 2 den Wert 2h̄2 und für
squadrates den Wert 2h̄2 zu finden? Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man zugleich für L
Lz den Wert h̄?
Aufgabe 3: Abbildung des Drehimpulses auf zwei ungekoppelte Harmonische Oszillatoren (Schwinger 1965)
(3 P)
Beweisen Sie, dass die Algebra zweier ungekoppelter harmonischer Oszillatoren (H.O.), und die Algebra von Drehimpulsoperatoren wie folgt zusammenhängen:
Seien zwei H.O.’s gegeben mit den Teilchenzahlopratoren, N̂+ = a†+ a+ und N̂− = a†− a− , die jeweils der Algebra
eines H.O. genügen:
[aα , a†α ] = 1
(1)
[N̂α , aα ] = −aα
(2)
[N̂α , a†α ] = a†α
(3)
wobei α = ±, sowie [a+ , a†− ] = 0, das heisst, die beiden H.O’s sind entkoppelt. Zeigen Sie, dass die Operatoren
J+ = h̄a†+ a− ,
J− = h̄a†− a+ ,
Jz =
[Jz , Jα ] = αh̄Jα ,
α = ±,
h̄
(N̂+ − N̂− ),
2
(4)
der Algebra des Drehimpulses genügen:
[J+ , J− ] = 2h̄Jz .
(5)
(6)
Leiten Sie die Eigenkets und Eigenwerte von Jz und J 2 her, indem Sie den Zusammenhang zu 2 H.O.’s ausnutzen.
2
Aufgabe 4: Legendre-Polynome (2P)
Das Legendre-Polynom Pn (x) ist ein Polynom n-ter Ordnung, und Lösung der Differentialgleichung
d
d
1 − x2
Pn (x) + n(n + 1)Pn .
dx
dx
(7)
mit Pn (±1) = (±1)n . Zeigen Sie, dass Pn (x) der folgenden Rekursionsformel genügt,
(n + 2)Pn+2 − (2n + 3)xPn+1 + (n + 1)Pn = 0, n = −1, 0, 1, 2, ...
Leiten Sie daraus die Legendre polynome mit dem Ansatz, P0 = 1, und P1 = x her.
(8)