Formelsammlung Mathematik I WS 1999/2000 - Stabile-ing

Formelsammlung Mathematik I WS 1999/2000
I. AUFBAU DES ZAHLENSYSTEMS ................................................................................................................................ 3
MENGE DER NATÜRLICHEN ZAHLEN N: ............................................................................................................................... 3
MENGE DER GANZEN ZAHLEN Z:......................................................................................................................................... 3
MENGE DER RATIONALEN ZAHLEN Q: ................................................................................................................................. 3
MENGE DER REELLEN ZAHLEN R:........................................................................................................................................ 4
QUADRATWURZEL .............................................................................................................................................................. 4
QUADRATISCHE GLEICHUNGEN ........................................................................................................................................... 4
II. POTENZ, LOGARITHMUS, BINOMIALKOEFFIZIENT........................................................................................... 5
POTENZEN .......................................................................................................................................................................... 5
LOGARITHMEN ................................................................................................................................................................... 6
LÖSEN VON E XPONENTIALGLEICHUNGEN ............................................................................................................................ 6
III. FAKULTÄT UND BINOMIALKOEFFIZIENT .......................................................................................................... 7
FAKULTÄT ......................................................................................................................................................................... 7
BINOMIALKOEFFIZIENT ....................................................................................................................................................... 7
Ursprüngliche Herkunft der Binomialkoeffizienten......................................................................................................... 7
IV. FUNKTIONEN .............................................................................................................................................................. 8
LINEARE FUNKTIONEN ........................................................................................................................................................ 8
QUADRATISCHE FUNKTIONEN ............................................................................................................................................. 8
Nullstellenberechung: ................................................................................................................................................... 8
GANZRATIONALE FUNKTIONEN ........................................................................................................................................... 9
GEBROCHEN RATIONALE FUNKTIONEN: ............................................................................................................................... 9
EXPONENTIALFUNKTIONEN ............................................................................................................................................... 10
Praktische Anwendungen der Exp.fkt. bei Wachstumsvorgängen .................................................................................. 10
UMKEHRFUNKTION........................................................................................................................................................... 10
DIE WURZELFUNKTION..................................................................................................................................................... 11
TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN .................................................................................................................................... 11
STETIGKEIT EINER FUNKTION ............................................................................................................................................ 12
DIFFERENZIERBARKEIT EINER FUNKTION........................................................................................................................... 13
V. KURVEN, GLEICHUNGEN, KEGELSCHNITTE ..................................................................................................... 13
GERADEN ......................................................................................................................................................................... 13
KREISE............................................................................................................................................................................. 13
Abstand zwischen zwei Punkten ................................................................................................................................... 14
ELLIPSEN ......................................................................................................................................................................... 14
VI. KURVENDISKUSSION .............................................................................................................................................. 14
ABLEITUNGEN .................................................................................................................................................................. 14
DEFINITIONSBEREICH ....................................................................................................................................................... 14
SYMMETRIE...................................................................................................................................................................... 14
NULLSTELLEN .................................................................................................................................................................. 15
LÜCKEN, POLE, VERHALTEN FÜR X à ∞ ........................................................................................................................... 15
EXTREMWERTE (HOCH-/TIEFPUNKTE)............................................................................................................................... 15
WENDEPUNKTE ................................................................................................................................................................ 15
ASSYMPTOTE ................................................................................................................................................................... 15
MONOTONIE ..................................................................................................................................................................... 15
VII. WICHTIGE ABLEITUNGEN ................................................................................................................................... 16
VIII. UNGLEICHUNGEN UND BETRÄGE .................................................................................................................... 16
EINSCHUB: MENGEN......................................................................................................................................................... 16
Mengenrelationen ....................................................................................................................................................... 16
UNGLEICHUNGEN ............................................................................................................................................................. 17
Lineare Ungleichungen ............................................................................................................................................... 17
BETRÄGE ......................................................................................................................................................................... 18
Die Betragsfunktion .................................................................................................................................................... 18
Erstellt von Nico Brauer
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03.01.01
IX. FOLGEN UND KONVERGENZ................................................................................................................................. 19
SPEZIELLE FOLGEN ........................................................................................................................................................... 19
Arithmetische Folgen .................................................................................................................................................. 19
Arithmetische Reihen................................................................................................................................................... 20
Geometrische Folgen .................................................................................................................................................. 20
Endliche geometrische Reihen ..................................................................................................................................... 20
Unendliche geometrische Reihe................................................................................................................................... 21
EIGENSCHAFTEN VON FOLGEN .......................................................................................................................................... 21
Monotonie................................................................................................................................................................... 21
Beschränktheit ............................................................................................................................................................ 21
KONVERGENZ / DIVERGENZ .............................................................................................................................................. 21
BEWEIS DURCH VOLLSTÄNDIGE INDUKTION....................................................................................................................... 22
X. FINANZMATHEMATIK ............................................................................................................................................. 23
Zinseszinsrechnung bei einmaliger Einzahlung ............................................................................................................ 23
Unterjährige Zinszahlung............................................................................................................................................ 23
ZINSESZINSRECHNUNG BEI MEHRMALIGEN EINZAHLUNGEN ............................................................................................... 23
vorschüssig ................................................................................................................................................................. 23
nachschüssig............................................................................................................................................................... 23
TILGUNG EINER SCHULD, RENTENBERECHNUNG ................................................................................................................ 23
nachschüssig............................................................................................................................................................... 23
vorschüssig ................................................................................................................................................................. 23
Ewige Rente ................................................................................................................................................................ 23
UNTERJÄHRIGE EINZAHLUNGEN BEI JÄHRLICHER ANTEILIGER ZINSGUTSCHRIFT ................................................................. 23
nachschüssig............................................................................................................................................................... 23
vorschüssig ................................................................................................................................................................. 23
XI. SONSTIGE DIFFERENTIALRECHNUNG ............................................................................................................... 24
ELASTIZITÄT .................................................................................................................................................................... 24
UNBESTIMMTE AUSDRÜCKE – DIE REGEL VON DE L’HOSPITAL ........................................................................................... 24
Erstellt von Nico Brauer
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03.01.01
I. Aufbau des Zahlensystems
Menge der natürlichen Zahlen N:
Abzählen, Numerierung N = {1;2;3;4;...;n}
Eigenschaften der Menge: Sie enthält unendlich viele Elemente
Sie ist bzgl. der Addition und der Multiplikation abgeschlossen
N0 = {0;1;2;3;...;n}
Menge der ganzen Zahlen Z:
Z = {...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;...}
Jede Gleichung der Form a + x = b mit a,b ∈ε N ist in Z lösbar.
Eigenschaften: N ⊂ Z ; abgeschlossen bzgl. Addition, Multiplikation und Subtraktion.
Distributivgesetz: a(b+c) = ab + ac
Menge der rationalen Zahlen Q:
Q = { p/q | p,q ∈ Z, q ≠ 0}
Jede Gleichung der Form a * x = b mit a,b ∈ Z, a ≠ 0 ist in Q lösbar.
Eigenschaften N ⊂ Z ⊂ Q ; abgeschlossen bzgl. der Add., Multipl., Subtr. und Division,
wobei die Division durch 0 nicht erlaubt ist.
Zwischen zwei rationalen Zahlen liegen unendlich viele weitere rationale Zahlen.
Jede rationale Zahl läßt sich als endlicher oder unendl. periodischer Dezimalbruch
darstellen. z.B.: 5/8 = 0,625; 1/3 = 0,333...; 13/90 = 0,1444444...
Rechenregeln:
-
Gleichheit: a1/b1 = a2/b2 ⇔ a1*b2 = a2*b1
Erweitern / Kürzen: a/b = (k*a)/(k*b) = a/b
b;k ≠ 0
Addition / Subtraktion: a1/b ± a2/b = (a1 ± a2)/b
b≠0
a1/b1 ± a2/b2 = [(b2*a1) ± (b1*a2)] / (b1*b2)
b1;b2 ≠ 0
Multiplikation: a1/b1 * a2/b2 = (a1*a2) / (b1/b2)
b1;b2 ≠ 0
Division: (a1/b1) / (a2/b2) = (a1/b1) * (b2/a2) = (a1*b2) / (b1*a2) b1;b2;a2 ≠ 0
Lineare Gleichungen: Jede lineare Gleichung der Form a*x = b mit a ≠ 0 hat die Lösung
x=b/a
Definition: 1/a = a –1 heißt inverses Element zu a ; a ≠ 0 (a * a –1 = 1)
Erstellt von Nico Brauer
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03.01.01
Menge der reellen Zahlen R:
Durch Hinzunahme der irrationalen Zahlen zu den rationalen Zahlen Q erhält man die
Zahlen R.
Eigenschaften von R: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
R füllt die gesamte Zahlengerade aus.
Jede irrationale Zahl läßt sich durch rationale Zahlen beliebig genau approximieren und
als Dezimalbruch darstellen, der stets weder abbrechend noch periodisch ist.
Bsp.: 3 < ∏ < 4
3,1 < ∏ < 3,2
3,14 < ∏ < 3,15
usw.
∏ ≈ 3,1415926
Einschub: Der Betrag |x| einer reellen Zahl ist def. durch:
|x| := { x falls x ≥ 0; -x falls x < 0}
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zu 0 auf der Zahlengerade
Quadratwurzel
Definition: x = √a (a ≥ 0) ist die nicht negative Lösung der Gleichung x² = a ⇒ √(a²) = |a|
Für a, b ≥ 0 gelten folgende Rechengesetze: √a * √b = √(a*b)
√a / √b = √(a/b)
(√a)² = √a² = |a| = a
! Achtung für Summen und Differenzen keine Rechengesetze: √(a+b) ≠ √a + √b
Rationalmachen des Nenners:
a/√b = (a*√b) / (√b*√b) = a*√b / b
Quadratische Gleichungen
(1) Reinquadratische Gleichung x² = a hat für a > 0 die beiden Lösungen x1/2 = ±√a
a = 0 die einzige Lösung x = 0
a < 0 keine (reelle) Lösung
(2) Allgemeine quadr. Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Mitternachtsformel:
x1 / 2 =
− b ± b ² − 4ac
2a
Je nach Determinante b² - 4ac unterschiedliche Anzahl von Lösungen (s.o.)
p-q-Formel:
Erstellt von Nico Brauer
x1 / 2 =−
p
±
2
()
p 2
2
−q
4
03.01.01
Spezialfälle quadr. Gleichungen:
1.) ax² + bx + c = 0 mit c = 0
d.h. ax² + bx = 0
⇔ x(ax + b) = 0
⇒ x1 = 0 ∨ ax + b = 0
⇔ x1 = 0 ∨ x = -b / a a ≠ 0
2.) Binomische Formel
i)
(a + b)² = a² + 2ab + b²
ii)
(a – b)² = a² − 2ab + b²
iii)
(a + b) (a – b) = a² −b²
II. Potenz, Logarithmus, Binomialkoeffizient
Potenzen
Definition: Für a ∈ R ; n ∈ N schreibt man an = a1 * a2 * ... * an
a heißt Basis der Potenz, n heißt Exponent .
Merke: (- 1)n = { 1 falls n gerade; - 1 falls n ungerade}
Speziell: (- 1)2n = 1
Definition:
(- 1)2n+1 = - 1
a0 = 1
Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten, reelle Basen a ≠ 0, b ≠ 0
i)
an * am = an+m
ii)
an / am = an-m
iii)
an * bn = (a*b)n
iv)
an / bn = (a/b)n
v)
(an)m = an*m
vi)
1 / an = a-n
1
a
=
a
a
Rationale Exponenten:
Definition: Für a ≥ 0 , n ∈ N schreibt man a1/n := n√a
√a ist die nicht negative (reelle) Lösung der Gleichung xn = a
n
I.
II.
n gerade:
1) a > 0 : 2 reelle Lösungen: x1 = n√a
2) a = 0 : 1 reelle Lösung: x = 0
3) a < 0: keine reelle Lösung
x2 = -n√a
n ungerade: für jedes a ∈ R gibt es genau eine Lösung
1) a > 0 : n√a
2) a = 0 : x = 0
3) a < 0 : x = -n√a
Erstellt von Nico Brauer
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03.01.01
Logarithmen
Definition: Für jedes a > 0, a ≠ 1 und jedes b > 0 nimmt man die Lösung der Gleichung ax = b
den Logarithmus von b zur Basis a
Wir schreiben: x = logab ⇔ ax = b
logab ist diejenige Zahl x mit der die Basis a potenziert werden muß, damit man b als Ergebnis
erhält.
alog(a) b = b
loga(ab) = b
Wichtige Basen:
a) Basis 10: log 10 b = lg b;
b) Basis e:
logaa = 1
loga1 = 0
Logarithmen zur Basis 10 heißen dekadische, briggsche oder
Zehnerlogarithmen.
e = 2,718
e heißt Eulersche Zahl
Schreibweise x = log e b = ln b ⇔ e x = b
Logarithmen zur Basis e heißen natürliche Logarithmen.
Rechenregeln lassen sich aus den Rechenregeln für Potenzen herleiten
i)
ii)
iii)
iv)
v)
loga(u*v) = logau + logav
loga(u/v) = logau - logav
logauv = v * logau
x = logcb ⇔ x = logab / logac
vi)
logbx = logbg * loggx
log b n u = 1n * log b u
Spezialfälle: i)
ii)
loga(1/v) = - logav
logan√u = logau1/n = 1/n * logau
Achtung: loga0 ist nicht definiert, denn ax ≠ 0 für alle x ∈ R
Lösen von Exponentialgleichungen
Definition: Eine Gleichung der Form ax = b heißt Exponentialgleichung, wobei a, b > 0; a ≠ 1.
Die Lösung erhält man durch Logarithmieren.
ax = b ⇔ lg ax = lg b ⇔ x * lg a = lg b ⇔ x = lg b / lg a
Erstellt von Nico Brauer
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03.01.01
III. Fakultät und Binomialkoeffizient
Fakultät
Definition: Für n ∈ N heißt dasd Produkt der ersten n-natürlichen Zahlen (1; 2; 3; ...; n) Fakultät.
Schreibweise: n! = 1*2*3*...*n
Bsp.: 4! = 1*2*3*4 = 24
Definition: 0! := 1
Anwendung:
a) Anordnung von n Elementen
Bsp.: 3 Elemente (n=3) {H;B;T}
Möglichkeit der Anordnung: HBT; HTB; BHT; BTH; TBH; THB à insgesamt erhält man 6
Möglichkeiten, d.h. 3*2*1 = 3! Möglichkeiten
allgemein: Um n Elemente anzuordnen, gibt es n! Möglichkeiten
b) geordnete Auswahl von k Elementen aus n Elementen (d.h. die Reihenfolge spielt eine Rolle)
Es gibt n! / k! Möglichkeiten aus n Elementen eine geordnete Auswahl von k Elementen
zu treffen.
Bsp.: Pferderennen: 10 Pferde
Platzwette: 1., 2., 3. Sieger des Rennens
à insgesamt 10! / 3! = 10*9*8*...*3*2*1 / (3*2*1) Möglichkeiten
Es gilt: n! / k! = n * (n – 1) * ... * (k+1)
Binomialkoeffizient
Definition: Für n ≥ k; n, k ∈ N heissen die folgenden Grössen n! / (k! (n – k)!)
Binomialkoeffizient.
Schreibweise: (nk) = n! / (k! (n – k)!)
„n über k“
Bsp.: (nn) = 1; (n0) = 1; (n1) = n
Bemerkung: (nk) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus n Elementen eine ungeordnete
Auswahl zu treffen, d.h. die Reihenfolge spielt keine Rolle.
Bsp.: Lotto ‚6 aus 49‘: (496) = 13 983 816
Ursprüngliche Herkunft der Binomialkoeffizienten
Für alle n ∈ N gilt: (a+b)n = (n0)anb0 + (n1)an-1b1 + (n2)an-2b2 + ... + (nn)a0bn
allgemeine binomische Formel
(a+b)² = (20)a²b0 + (21)a2-1b1 + (22)a0b² = 1*a² + 2*a*b + 1*b² = a² + 2ab + b²
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03.01.01
IV. Funktionen
Definition: Eine Zuordnung f, die jeder reellen Zahl x eindeutig eine weitere Zahl y zuordnet,
heißt Funktion.
Schreibweise: f: x à y
Die Beziehung y = f(x) heißt Zuordnungsvorschrift oder Funktionsgleichung. Die Menge D der
Zahlen die x annehmen kann heißt Definitionsbereich, die Menge W aller möglichen
Funktionswerte y = f(x) heißt Wertebereich.
Lineare Funktionen
Allgemein: Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet y = f(x) = m*x + b
Das Schaubild stellt eine Gerade dar, wobei m die Steigung und b den y-Achsenabschnitt
angibt.
Die Schnittpunkte der Schaubilder zweier beliebiger Funktionen f und g berechnet man durch
Gleichsetzender beiden Funktionsterme f(x) = g(x)
Quadratische Funktionen
f(x) = x²
Normalparabel; D = R; W = R0+
Dehnen und Pressen der Normalparabel:
Das Schaubild f(x) = a*x² stellt für:
a > 1:
eine um den Faktor a in y-Richtung gestreckte Normalparabel dar;
0 < a < 1:
eine um den Faktor a in y-Richtung gepreßte Normalparabel dar;
a < 0:
so tritt zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse auf.
Verschieben der Normalparabel
g(x) = ax² + e bei Verschiebung in y-Richtung (nach oben)
h(x) = (x – d)² bei Verschiebung in x-Richtung (nach rechts)
Allgemeine Parabeln:
1.
2.
3.
4.
f(x) = ax² + bx + c
(a ≠ 0)
Ausklammern der Koeffizienten vor x²
Quadratische Ergänzung
Herausziehen des Korrekturgliedes
Umschreiben zur bin. Formel: f(x) = a (x – d)² + e, SCHEITELFORM
Nullstellenberechung:
f(x) = ax² + bx + c = 0
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à pq-Formel oder Mitternachtsformel anwenden
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03.01.01
Ganzrationale Funktionen
N
Definition: Eine Funktion der Form f(x) = ∑ an * xn N∈ N0, an ∈ R, aN ≠ 0 heißt ganzrationale
n=0
Funktion N-ten Grades / Polynom N-ten Grades
NSt.berechnung: keine Lösungsformel mehr.
Einfache Regel: Ist x = x1 eine ganzzahlige Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligem
Koeffizienten, so ist x1 Teiler des absoluten Glieds a0 des Polynoms
Erste Nullstelle durch Raten
Weitere Nullstellen durch Polynomdivision:
p(x) ÷ f(x) = q(x)
Merke: Ist x = x1 eine Nullstelle der ganzrationalen Funktion g(x), so erhält man weitere
Nullstellen, indem man die Polynomdivision g(x) ÷ (x – x1) = q(x) ausführt. q(x) ist eine
ganzrationale Funktion deren Grad um 1 niedriger ist als der Grad von g(x). Die Nullstellen von
q(x) sind auch Nullstellen von g(x).
Gebrochen rationale Funktionen:
Definition: Eine gebrochen-rationale Funktion f ist ein Quotient aus zwei ganzrationalen
Funktionen g und h: f(x) = g(x) ÷ h(x)
Den Definitionsbereich D von f erhält man, wenn man von R die Stellen wegnimmt, an denen
der Nenner 0 wird, d.h. die Lösungen von h(x) = 0
Bsp.: f(x) = 1/x; D = R \ { 0 }; W = R \ { 0 }
Die x-Achse ist waagrechte Assymptote zu f(x) = 1/x für x à ∞ und für x à - ∞
Die y-Achse ist senkrechte Assymptote zu f(x) = 1/x für x à 0+ und für x à 0 –
Sei f(x) = g(x) / h(x) eine gebrochen-rationale Funktion.
Die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion erhält man, indem man den Zähler gleich 0
setzt, also die Gleichung g(x) = 0 löst.
Die Polstellen einer gebrochen-rationalen Funktion erhält man, indem man den Nenner gleich 0
setzt, also die Gleichung h(x) = 0 löst.
Merke: Zuerst muß die Definitionsmenge einer gebrochen-rationalen Funktion bestimmt
werden !
D = R \ {x ∈ R | h(x) = 0}
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03.01.01
Exponentialfunktionen
Die Familie der Exponentialfunktionen f(x) = ax
Definition: Funktionen der Form f(x) = a x mit a > 0, a ≠ 1, x ∈ R heißen Exponentialfunktionen.
Eigenschaften aller Exp.fkt.:
- alle Schaubilder gehen durch P (0/1)
- alle Schaubilder verlaufen echt oberhalb der x-Achse
(Assymptote) à W = R+
- für a > 1 sind die Schaubilder wachsend,
- für 0 < a < 1 fallend
Praktische Anwendungen der Exp.fkt. bei Wachstumsvorgängen
Zur Beschreibung von exp. Wachstumsvorgängen verwendet man Funktionen der Form:
f(t) = c * at (t = Zeit)
Wegen f(0) = c * a0 = c erkennt man an c den Anfangsbestand.
Lege Fkt.: f(t) = c * at zugrunde, bestimme a und c.
Zeige: f(t) = c * at (a>1) verdoppelt sich stets in gleichen Zeitabständen ∆t
Es muß gelten: f(t + ∆t) = 2 * f(t)
c * at + ∆t = 2 * c * at ⇒ a∆t = 2 ⇔ ∆t = lg 2 / lg a = konstant
Allgemein: Wächst eine gemäß f(t) = c * at (a>1) zunehmende Größe pro Zeiteinheit um p%, so
gilt: a = 1 + p/100 è f(t) = c * (1 + p/100)t
Umkehrfunktion
Wertetab. f: y = 2x
f
x
0
y
1
f-1
1
2
2
4
3
8
4
16
y
x
f-1 nennt man die Umkehrfunktion von f
Fkt.gleichung von f-1: x = 2y ⇔ y = log2x
Also: Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f: y = 2x ist die
Logarithmusfunktion f-1: y= log2x
Anmerkung: Schaubild der Logarithmusfunktion y = log2x geht durch P (1/0), denn log21 = 0.
Eine beliebige Funktion f: Df à W f kann ebenso in eindeutiger Weise umgekehrt werden, wenn
jede zur x-Achse parallele Gerade das Schaubild genau einmal schneidet.
In diesem Fall erhält man die Umkehrfunktion, indem man:
(1) x und y in y = f(x) vertauscht à x = f(y)
(2) nach y auflösen:y = f-1(x)
Das Schaubild von f-1 entsteht aus dem Schaubild von f durch Spiegelung an der 1.
Winkelhalbierenden (y = x)
Es gilt: Df-1 = W f und Wf-1 = Df
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03.01.01
Die Wurzelfunktion
Man muß den maximalen Definitionsbereich von f einschränken, und zwar R+0 oder R-0
Üblicherweise: Df = R+0, dann ergibt sich für x,y ≥ 0
x = f(y) = y² ⇔ y = √x = f-1(x)
Trigonometrische Funktionen
Definition von Sinus und Cosinus:
M (0/0) ; r = 1
P (xα/yα)
α
sin α = yα
cos α = xα
0°
90°
180°
α
0
1
0
sin α
1
0
-1
cos α
Sinus und Cosinus sind periodische Funktionen.
Es gilt: sin α = sin (α + 360°) = sin (α + n*360°) für n ∈ Z
cos α = cos (α + 360°) = cos (α + n*360°) für n ∈ Z
270°
-1
0
360°
0
1
Weitere Werte:
α
sin α
cos α
0°
0 = ½ √0
1
30°
½ = ½ √1
½ √3
45°
½ √2
½ √2
60°
½ √3
½
90°
1 = ½ √4
0
sin α = yα ; sin (-α) = -yα ⇒ sin α = - sin (-α)
sin (360° - α) = sin (-α)
cos α = xα ; cos (-α) = xα ⇒ cos α = cos (-α)
Bogenmaß
t
α
Erstellt von Nico Brauer
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03.01.01
αàt
0° à 0
360°à 2Π
180° à Π
90° à ½ Π
270° à 3/2 Π
α
t
sin α
360°/α = 2Π/t
0°
0
0
1
30°
Π/6
½
α, t ≠ 0
45°
Π/4
½ √2
60°
Π/3
½ √3
90°
Π/2
1
sin x
Π/2
270°
3Π/2
-1
cos x
Π
3Π/2
2Π
-1
sin (x + Π/2) = cos x
cos (x - Π/2) = sin x
Dsin = Dcos = R
W sin = W cos = [-1;1]
Stetigkeit einer Funktion
Eine Funktion ist stetig, wenn sie ohne Abzusetzen durchgezeichnet werden kann.
Funktionen der Form ax² + bx + c sind grundsätzlich stetig, und damit auch Kompositionen aus
diesen Funktionen. Problematisch sind Funktionen mit Definitionslücken wie z.B. f(x) = 1/x
ax 2 − bx + c, x ≤ h
f
(
x
)
=
oder aufgeteilte Funktionen:

a
,x > h

x
Hierbei muß die Stetigkeit an der Stelle des Übergangs untersucht werden.
Die Stetigkeit wird über den Grenzwert der Funktion an der Übergangsstelle von links und von
rechts untersucht.
lim
lim
f ( x) =
ax 2 − bx + c Hierbei kann der Funktionswert jetzt eingesetzt werden.
−
x→h
x → h−
lim
lim a
f ( x) =
+
x→h
x → h+ x
Stimmen die beiden Ergebnisse überein, so ist die
Funktion stetig.
Erstellt von Nico Brauer
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03.01.01
Differenzierbarkeit einer Funktion
Differenzierbarkeit einer Funktion bedeutet, daß man sie ableiten kann
Grundvoraussetzung für Diff’barkeit ist die Stetigkeit. Ist eine Funktion nicht stetig, so ist sie in
keinem Fall diff’bar.
Ansonsten Voraussetzungen wie oben.
Ist die Funktion stetig, muß jetzt die Diff’barkeit an den Übergangsstellen untersucht werden.
Hierfür müssen wir den Grenzwert an den Übergangsstellen der 1. Ableitung der Funktion
berechnen.
lim
lim
f ′( x) =
2ax − b
−
x→h
x → h−
lim
lim − a
f ′( x) =
+
x→h
x → h+ x2
Wenn wiederum beide Grenzwerte übereinstimmen, so ist die Funktion differenzierbar. Unter
Umständen ist sie auch nur für bestimmte Parameter für a differenzierbar bzw. stetig, die dann
noch berechnet werden müssen.
V. Kurven, Gleichungen, Kegelschnitte
Geraden
Allgemein: Jede Gerade, die nicht parallel zu einer der Achsen ist, läßt sich auf die Form
x/a + y/b = 1 bringen. Diese Form heißt Achsenabschnittsform.
Die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt P (0/b)
Die Gerade schneidet die x-Achse im Punkt Q (a/0)
Kreise
Einheitskreis:
Radius 1 cm
Definition: Ein Kreis ist die Menge
aller Punkte, die von einem
gegebenen Mittelpunkt den
gleichen Abstand haben.
Erstellt von Nico Brauer
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03.01.01
Abstand zwischen zwei Punkten
r = s² + t² Satz des Phytagoras
r = √(s² + t²)
r = √[(x1 – x0)² + (y1 – y0)²]
à 4 = (y1 – 5)² + (x1 – 3)²
4 = y² - 10y + 25 + x² - 6x + 9
0 = y² - 10y + x² - 6x + 30
y1
r=2
t
y0
M (x0/y0) = (3/5)
s
x0
x1
jeweils quadr. Ergänzung
à 4 = (y – 5)² + (x – 3)²
(Radius)²
Mittelpunkt M(3/5)
Ellipsen
Allgemeine Ellipsengleichung: ((x – x0)/a)² + ((y – y0)/b)² = 1
M(x0/y0) ist Mittelpunkt der Ellipse = Schnittpunkt der beiden Halbachsen.
a und b geben die Länge der beiden Halbachsen an.
Zusammenfassung:
(x – x0)² + (y – y0)² = r²
[(x – x0)/a]² + [(y – y0)/b]² = 1
Kreisgleichung mit M(x0/y0) und Radius r
Ellipsengleichung mit M(x0/y0), Halbachsen a und b
(kleinster und größter Abstand zum Mittelpunkt)
VI. Kurvendiskussion
Ableitungen
Linearität: (f ± g)‘ = f‘ ± g‘ (cf)‘ = c f‘
Produkt: (f g)‘ = f’g + f g‘
′
Quotient:  f  = f ′g − fg ′
g
g²
 
Kettenregel: (f(u(x)))‘ = f‘(u) * u‘(x) , wobei f‘(u) mit ursprünglichem u
Umkehrfunktion: f ′( y ) =
1
f ′( x)
Definitionsbereich
Definitionsbereich festlegen, hierbei v.a. NSt. des Nenners beachten
Symmetrie
f(-x) = -f(x) à Punktsymmetrie zum Ursprung
f(-x) = f(x) à Achsensymmetrie
Es muß keine Symmetrie vorliegen
Erstellt von Nico Brauer
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03.01.01
Nullstellen
f(x) = 0 setzen, und die Nullstellen berechnen
Lücken, Pole, Verhalten für x à ∞
lim
f ( x) =?
x → +∞
lim
f ( x) =?
x → −∞
lim
f ( x) =?
x → +0
lim
f ( x) =?
x → +0
Hebbare Polstellen des Nenners, s. S. 9 dieses Skript
Extremwerte (Hoch-/Tiefpunkte)
Erste Ableitung f‘(x) = 0 setzen
Die erhaltenen Werte in f ‘‘(x) einsetzen:
f '‘(x) > 0 à Tiefpunkt
f ‘‘(x) < 0 à Hochpunkt
f ‘‘(x) = 0 à Sattelpunkt
Zum Abschluß y-Werte mit Originalfunktion ermitteln.
Wendepunkte
Zweite Ableitung f ‘‘(x) = 0 setzen
Y-Werte mit Originalfunktion ermitteln.
Assymptote
Assymptoten erhalten wir durch Polynomdivision durch eine Nullstelle der Funktion
Näherungsverhalten der Funktion an die Assymptote ermitteln (Grenzwert)
lim
f ( x) < 0
x → +∞
, dann kommt die Kurve von unten
lim
f ( x) > 0
x → +∞
, dann kommt die Kurve von oben
Monotonie
S. Mathe, Bosch, S. 68
Wertebereich angeben
Erstellt von Nico Brauer
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03.01.01
VII. Wichtige Ableitungen
f(x)
c
xm
√x
ln x
f'(x)
0
m * xm-1
1/(2√x)
1/x
f(x)
sin x
cos x
tan x
f'(x)
cos x
- sin x
1/(cos²x)
f(x)
ex
ax
cot x
f'(x)
ex
ax * ln a
-1/(sin²x)
VIII. Ungleichungen und Beträge
Einschub: Mengen
Definition: (G. Cantor) Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten
wohlunterscheidbaren Objekten / Elementen unserer Anschauung oder unseres Denkens zu
einem Ganzen.
Schreibweise:
Ist m ein Element der Menge M, so schreibt man m ∈ M.
Ist m kein Element der Menge M, so schreibt man m ∉ M.
Beschreibung von Mengen:
- in aufzählender Form: z.B.: die Menge aller Teiler von 12, M = {1;2;3;4;6;12}
- in beschreibender Form: z.B. die Menge aller Teiler von 12, M = { n ∈ N | n teilt 12}
Hierbei heißt N die Grundmenge.
Definition: Die Menge, die kein Element, heißt leere Menge.
Schreibweise: ∅ ; { }
Mengenrelationen
A, B beliebige Mengen, dann heißt:
- A ∩ B:
‚Schnittmenge von A und B‘. Diese besteht aus den Elementen, die sowohl in A
als auch in B liegen.
Bsp.: A = { 1; 2; 3; 4; 6; 12} ; B = {1; 2; 4; 5; 10;20}
A ∩ B = {1; 2; 4}
- A ∪ B:
‚Vereinigungsmenge von A und B‘. Diese besteht aus den Elementen die in A oder
B enthalten sind.
Bsp.: A ∪ B = {1; 2; 4; 5; 6; 10; 12; 20}
- A:
ist die ‚Komplementmenge‘ einer Menge A bezüglich einer Grundmenge G, die
alle Elemente der Grundmenge G enthält die Nicht zu A gehören
A=G\A
- A \ B:
‚Differenzmenge‘, besteht aus den Elementen die zur Menge A, aber nicht zur
Menge B gehören.
Bsp.: A \ B = {3; 6;12} ; B \ A = {5; 10; 20}
Erstellt von Nico Brauer
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03.01.01
Zur Veranschaulichung: sog. Venn-Diagramme:
A
C=A∩B
D
D=A\B
B
C
E
E=B\A
Ungleichungen
Definition: Ungleichungen liegen vor, wenn Rechenausdrücke (Terme) durch mind. ein
Ungleichheitszeichen verbunden sind.
Eigenschaften und Umformungen von Ungleichungen: Eigenschaften der ‚< -Beziehung‘
a) a < b ⇔ b > a
„Symmetrie“
b) Für r, s ∈ R beliebig gilt: r < s ∨ r = s ∨ r > s
c) a < b ∧ b < c à a < c “Transitivität“
Umformungen:
Addition: a < b ⇔ a + c < b + c für c ∈ R
Multiplikation: Bsp.: 2 < 3 |*2
⇔4<6 √
aber:
2 < 3 |*(-2) ⇔ -4 > -6
è a < b ⇔ a*c < b*c für c > 0
a < b ⇔ a*c > b*c für c < 0
Entsprechend für >; ≥; ≤
Lineare Ungleichungen
Eine Ungleichung in der Die Variable nur in der 1 Potenz vorkommt, heißt lineare Ungleichung.
Lösen von Ungleichungen durch Umformen bis die gesuchte Variable isoliert ist.
Für a < b gibt es folgende Intervalle:
- abgeschlossen: [a ; b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
- offen:
]a ; b[ = (a ; b) = {x ∈ R | a < x < b}
- links halboffen:
]a ; b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}
- rechts halboffen: [a ; b[ = {x ∈ R | a ≤ x < b}
Erstellt von Nico Brauer
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03.01.01
Beträge
Definition: Der Betrag einer Zahl ist definiert als |a| = {a, für a ≥ 0; -a für a < 0}
Eigenschaften des Betrages:
(1) |x| ≥ 0 für alle x ∈ R
(2) |-x| = |x| für alle x ∈ R
(3) |a * b| = |a| * |b| für alle a,b ∈ R
(4) |a + b| ≤ |a| + |b| für alle a,b ∈ R
|a| gibt den Abstand zum Nullpunkt an.
|a – b| gibt den Abstand zwischen a und b an.
Die Menge {x ∈ R | |x – a| ≤ d} ist die Menge der Zahlen, die von a höchstens den Abstand d
haben.
d
d
a–d
0
Es gilt:{x ∈ R | |x – a| ≤ d} = [a – d; a + d]
{x ∈ R | |x – a| < d} = ]a – d; a + d[
a+d
Die Betragsfunktion
f: R à R+0
x à |x|
f(x)
f(x) = |x|
x
Erstellt von Nico Brauer
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03.01.01
IX. Folgen und Konvergenz
Definition: Eine Zahlenfolge ist eine Zuordnung, die jeder natürlichen Zahl n ∈ N eine reelle Zahl
an ∈ R zuordnet.
Bsp.:
n
an = n²
1
1
2
4
3
9
4
16
4
3
Punkte nicht verbinden, da n ∈ N
2
1
0
1
2
3
4
Bezeichnungen: (an) = a1; a2; a3;...;an
an heißt n-tes Folgenglied, Funktionswert der Folge an der Stelle n
n heißt Index
Beschreibungen:
1) Zuordnungsvorschrift: an = (-1)n + 2
a1
a2
1
3
a3
1
a4
3
2) Rekursion:
a1
1
an+2 = an+1 + an
a3
3
rekursive Darstellung
a4
a5
5
8
a1 = 1
a2 = 2
a2
2
a5
1
Spezielle Folgen
Arithmetische Folgen
Definition: Eine Folge an heißt arithmetische Folge, wenn die Differenz d zweier
aufeinanderfolgender Folgeglieder konstant ist, d.h. an+1 - an = d für alle n ∈ N
Kennt man bei einer arithmetischen Folge d und a1 so lassen sich alle Folgeglieder berechnen.
an = a1 + (n – 1) * d
Der Name arithmetische Folge kommt daher, daß jedes Folgeglied das arithmetische Mittel
seiner beiden Nachbarn ist.
Beweis:
an+1 – an = an – an – 1 (=d)
an+1 + an – 1 = 2an ⇔ an = ½ (an+1 + an – 1)
Erstellt von Nico Brauer
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q.e.d.
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Arithmetische Reihen
Bsp. 1: Gesucht sei die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 100
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 100
100 + 99 + 98 + 97 + 96 + ... + 1
101 + 101 + 101 + 101 + ... + 101 = 100 * 101 = 2* gesuchte Summe
è L = {5050}
100
Schreibweise: 1 + 2 + 3 + ... + n + (n + 1) + ... + 100 = ∑ n = 5050
n=1
Analog: Die Summe der ersten N natürlichen Zahlen:
N
sn := ∑ n = [N * (N + 1)] / 2
n=1
Die Summe der ersten N Folgeglieder einer arithmetischen Folge ist das N-fache des arithm.
Mittels des ersten und letzten Summanden:
n
sn = ∑ ak =
k =1
n
[a1 + a n ] = n [2a + (n − 1) * d ]
2
2
Geometrische Folgen
Defintion: Eine Folge heisst geometrische Folge, wenn der Quotient q zweier
aufeinanderfolgender Folgeglieder konstant ist, d.h. an+1 / an = q = konstant für alle n ∈ N
Kennt man bei einer geometrischen Folge das Anfangsglied a1 und q, so lassen sich alle
Folgeglieder berechnen: an = a1 * qn – 1
Der Name geometrische Folge kommt daher, daß der Betrag jedes Folgegliedes (n ≥ 2) das
geometrische Mittel seiner beiden Nachbarn ist.
Beweis: an+1 / an = an / a n-1 = q ⇔ an+1 * an-1 = an²
|an| = √(an+1 * an-1)
q.e.d.
Allgem.: Kapital der Höhe K0 wird jährlich mit p% verzinst.à Nach n Jahren: Kn=K0*(1+ p/100)n
Endliche geometrische Reihen
n −1
i
Allgemein: S n = ∑ a * q = a *
i =0
qn −1
q −1
Bemerkung: ⇔ sN = a * N für q = 1
Erstellt von Nico Brauer
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03.01.01
Unendliche geometrische Reihe
Für die Berechnung der unendlichen geometrischen Reihe gilt folgende Formel. Hierbei ist zu
beachten, daß die Reihe immer von k = 0 beginnt zu laufen.
n
∞
k =0
k =0
sn = ∑ q k = ∑ q k =
1
1− q
Sollte die Summe nicht mit 0 beginnen, gilt folgende Regel:
∞
∞
k =2
k =0
sn = ∑ q k = q 2 ∑ q k
Eigenschaften von Folgen
Monotonie
Definition: (an) heißt für alle n ∈ N
- monoton wachsend, wenn an ≤ an+1
- streng monoton wachsend, wenn an < an+1
- monoton fallend, wenn an ≥ an+1
- streng monoton fallend, wenn an > an+1
Bsp.: nà 1/n è (an) = 1; ½; 1/3; ¼; ...
denn es gilt: n < n+1
⇔ 1 < n+1/n ⇔ 1/(n+1) = 1/n
also an > an+1 für alle n ∈ N
è streng monoton fallend
Bsp.: (-1)n = -1; 1; -1; 1; ...
„alternierende Folge“
è keine Monotonie, denn a3<a2, aber a4>a3
Bsp.: an = 3n+1/(n+3);
Vergleiche an mit an+1:
an+1 = 3(n+1)+1/[(n+1)+3] = 3n+4/(n+4)
Beschränktheit
Hierbei untersuchen wir, ob eine Folge eine obere/untere Schranke hat.
Definition: (an) heißt nach unten beschränkt, wenn existiert: c1: an ≥ c1 für alle n ∈ N
... nach oben beschränkt, wenn existiert c2: an ≤ c2 für alle n ∈ N
Abschätzen nach unten:
Es gilt: a ≥ 0 für alle n ∈ N è eine untere Schranke von (an) = 0
Konvergenz / Divergenz
Vermutung: 1 ist Grenzwert der Folge.
Diese Folge nähert sich der Zahl 1, erreicht diese jedoch nie.
Definition: Eine Zahl g heißt Grenzwert Folge (an) genau dann, wenn es zu jedem auch noch so
kleinem ε > 0 einen Index n0 gibt, so daß folgender Sachverhalt gilt:
|an – g| < ε für alle n ≥ n0
Erstellt von Nico Brauer
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03.01.01
Schreibweise: lim an = g
nà∞
Besitzt eine Folge (an) einen Grenzwert g, so konvergiert (an) gegen g
Folgen, die keinen Grenzwert haben, d.h. nicht konvergent sind, heissen divergent.
Bemerkung:
1.) Eine Folge kann höchstens einen Grenzwert haben.
2.) a) Ist eine Zahlenfolge nach oben beschränkt und monoton wachsend, dann ist sie
konvergent, d.h. sie besitzt einen Grenzwert.
b) Ist eine Zahlenfolge nach unten beschränkt und monoton fallend, dann ist sie konvergent
3.) Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Beweis durch vollständige Induktion
1. Behauptung aufstellen, z.B. Die Folge ist monoton wachsend
à Behauptung: an ≤ an+1
2. Induktionsverankerung:
Für n = 1 ist die Behauptung wegen a2 = ... ≥ 1 = a1 richtig
3. Schluß von n0 auf n0 + 1:
Induktionsannahme: Die Behauptung sei für n0 richtig, d.h.
a n0 ≤ a n0 +1
Dann durch Umformungen zeigen, daß die Behauptung auch für n0 + 1 richtig ist.
Aus a n0 ≤ a n0 +1 folgt also auch a n0 +1 ≤ a n0 + 2 , d.h. mit n0 ist die Behauptung auch für n0 + 1
richtig.
Aus 2. und 3. folgt somit die Gültigkeit der Behauptung für alle natürlichen Zahlen n
Analog muß der Beweis dann für die Beschränktheit geführt werden.
Aus Monotonie und Beschränktheit folgt Konvergenz.
Grenzwert wird wie folgt berechnet: Da die Folge monoton ... und beschränkt ist, ist sie
konvergent. Der Grenzwert läßt sich wegen
lim
lim
a n +1 =
a n = a einfach berechnen
n→∞
n→∞
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03.01.01
X. Finanzmathematik
Tilgung einer Schuld, Rentenberechnung
Zinseszinsrechnung bei einmaliger
Einzahlung
nachschüssig
K n = Kq
n
mit q = 1 + p/100
qn −1
Rn = K * q − a *
q −1
Schon gemachte Umformungen, falls die
Restschuld am Ende der Laufzeit Null sein
soll,
s. Bosch S. 29, Formel 16,17
n
Unterjährige Zinszahlung
p 

K n = K 1 +

 m * 100 
m* n
Zinseszinsrechnung bei mehrmaligen
Einzahlungen
vorschüssig
(
m + 1) p 
qn −1

Rn = K * q −  m +
* a*
200 
q −1

vorschüssig
n
q n −1
Kn = E * q *
q − 1 , E = jährl. vorschüssige
Einzahlung
Ewige Rente
aewig =
nachschüssig
qn −1
Kˆ n = Eˆ *
q − 1 , Ê = jährl. nachschüssige
Einzahlung
K*p
(m + 1) p 

100 m +

200 

Unterjährige Einzahlungen bei jährlicher
anteiliger Zinsgutschrift
nachschüssig
(
m − 1) p 
qn −1

K n = m +
*u *
200 
q −1

vorschüssig
(m + 1) p  * u * q n − 1

K n = m +
200 
q −1

Erstellt von Nico Brauer
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XI. Sonstige Differentialrechnung
Elastizität
r f ( x) =
Wachstumsrate:
f ′( x) d ln f ( x)
=
f ( x)
dx
Interpretation: Die Elastizität drückt den Einfluß aus, den eine lokale relative Änderung der
unabhängigen Variablen x auf die relative Änderung der abhängigen Variablen f(x) hat.
Maßstabsänderungen auf den beiden Achsen haben keinen Einfluß auf die Elastizität.
Für die Elastizität gelten folgende Eigenschaften:
ε 1 ( x) = −ε g ( x)
ε f ( x) = ε f ( x) − ε g ( x)
ε f ⋅ g ( x ) = ε f ( x) + ε g ( x)
g
g
ε f ( g ( x )) ( x) = ε f ( g ( x)) ⋅ ε g ( x)
ε f −1 ( y ) =
1
ε f ( x)
ε c⋅ f ( x ) = ε c ( x ) + ε f ( x ) = ε f ( x )
Amoroso-Robinson-Formel:

1 
E ′( x) = p ⋅ 1 + ε p ( x) = p ⋅ 1 +

 ε x ( p) 
[
]
Unbestimmte Ausdrücke – die Regel von de l’Hospital
Unbestimmte Ausdrücke sind: 0/0 ∞/∞
Hier gilt:
u(x0) = u‘(x0) = u‘‘(x0) = ... = u(n-1)(x0) = 0
v(x0) = v‘(x0) = v‘‘(x0) = ... = v(n-1)(x0) = 0
Falls der Grenzwert
existiert, gilt
lim u ( n) ( x) u ( n) ( x0 )
=
x → x0 v ( n ) ( x) v ( n ) ( x0 )
lim u ( x)
lim u ′( x)
lim u ( n) ( x)
lim u ( n ) ( x 0 )
=
= ... =
=
x → x 0 v( x ) x → x 0 v ′( x)
x → x 0 v ( n ) ( x ) x → x 0 v ( n ) ( x0 )
Dabei darf x0 auch gleich
∞ sein.
-ENDEErstellt von Nico Brauer
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03.01.01