TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik P ROF. D R . M. W OLF D. L ERCHER O. S ZEHR Höhere Mathematik II für Physiker Analysis 1 WS 11/12 Blatt 10 (23. Dezember 2011) Hausaufgaben Aufgabe 1. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: Z Z t3 2 −t a) (sin t) e dt b) √ dt (t2 + 1 := u) t2 + 1 Z √ Z t 1−t dt √ (tan := u) d) c) dt (t := (sin u)2 ) 1 + cos t 2 t−t Z Z 1 e) sinh t cos tdt e) √ dt. 1 + exp t Aufgabe 2. Berechnen Sie den Grenzwert: 1 1 1 lim √ +√ + ... + √ . n→∞ n2 + 1 2 n2 + 2 2 n2 + n2 Aufgabe 3. Es sei ( f (t) = 1 t − b 1t c, wenn 0 < t ≤ 1 0, wenn t = 0. Zeigen Sie, dass f über [0, 1] integrierbar ist und drücken Sie den Wert des Integrals mit Hilfe der EulerMascheroni-Konstanten, die definiert durch 1 1 1 C := lim n → ∞ 1 + + + ... + − log n 2 3 n ist, aus. Aufgabe 4. Beweisen Sie ohne Rückgriff auf den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung die Gleichung: Z x dt = arctan x (x > 0). 1 + t2 0 Anleitung: Setze α = arctan x und betrachte Teilungen Tn : tk := tan kα n (0 ≤ k ≤ n). Bei geeigneter Wahl der Messpunkte lassen sich die Zahlen n X tk − tk−1 Rn := 1 + tk tk−1 k=1 als Riemannsche Summe zu dem angeschriebenen Integral auffassen. Aufgabe 5. Zeigen Sie: Die Funktion Z f (x) := 0 x sin t dt t (x ∈ R) nimmt auf R ein globales Maximum M und ein globales Minimum −M an. Finden Sie einen Ausdruck für M und beweisen Sie, dass M < 2. Hinweis: Beweisen Sie unter geeigneten Voraussetzungen die Ungleichung sin t < t cos 2t . Aufgabe 6. Berechnen Sie den Grenzwert Z lim n→∞ 0 π 2 ! sin nt dt . nt Hinweis: Wähle ein ε > 0 und zerlege den Integrationsbereich in die Teilintervalle [0, ε] und [ε, π2 ].