1. Berechnen Sie dx! Mit u/(x)v(x)dx (partielle Integration) ist dann 2

WVV-12
Schuljahr 2012/2013
Lösungen zu Übung 5
1
2π
´
1. Berechnen Sie x · cos (x) dx!
0
Wir setzen u(x) = x und v 0 (x) = cos(x). Damit ist u0 (x) = 1 und
v(x) = sin(x)
´b
´b
Mit u(x)v 0 (x)dx = [u(x)v(x)]ba − u0 (x)v(x)dx (partielle Integration)
a
a
ist dann
2π
´
x · cos (x) dx = [x · sin(x)]2π
0 −
2π
´
sin (x) dx = [x · sin(x) + cos(x)]2π
0 = 0
0
0
2. Die Steiggeschwindigkeit eines Flugzeugs ist gegeben durch v(t) = − 101 t2 +
2 21 t für t ∈ [0; 20]. Dabei wird die Zeit t in s und die Steiggeschwindigkeit
v in ms betrachtet. Berechnen Sie die Höhe, die das Flugzeug im angegebenen Zeitintervall erreicht!
1 3
t + 1 14 t2 . Damit ist h(20) = −266 32 + 500 = 233 31 .
h(t) = − 30
Das Flugzeug steigt in den ersten 20 Sekunden also um ca. 233 Meter.
3. Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen E1 und E2 !
E1 : x − y + 2z = 7; E2 : 6x +y − z = −7
x −y +2z = 7
6x +y −z = −7
x −y +2z = 7 ⇔ . Nun lassen sich
7x
+z = 0 leicht zwei Punkte ablesen, die beide Gleichungen erfüllen: P (−1|6|7)
und Q (1| − 20| − 7). P und Q sind also zwei Punkte, die auf beiden

−1


−
Ebenen liegen. Damit liegt auch die Gerade gPQ : →
x =  6 +
7


2


λ  −26  ; λ ∈ R auf beiden Ebenen. Falls die Ebenen nicht identisch
−14
sind, ist gPQ dann auch die Schnittgerade der beiden Ebenen. Zwei in
Koordinatenform gegebene Ebenen sind genau dann identisch, wenn eine
Koordinatengleichung durch Multiplikation mit einer reellen Zahl k 6= 0
aus der anderen hervorgeht. Das ist hier oensichtlich nicht der Fall.
4. Einer Kandidatin in einer Quiz-Sendung werden acht Fragen vorgelegt.
Für jede Frage werden drei Antworten angeboten, von denen jeweils genau eine richtig ist. Die Kandidatin muss leider bei jeder Frage die Antwort raten. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für
(a) genau vier richtige Antworten!
Die Zufallsvariable X , die hier die Anzahl der Treer (richtig geratenen Antworten) beschreibt ist binomialverteilt mit n = 8 und
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Schuljahr 2012/2013
2
Lösungen zu Übung 5
p = !13 . Also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit P (X = 4) =
8
1 4 2 4
≈ 0, 17.
3
3
4
(b) mindestens eine richtige Antwort!
P (X > 1) = 1 − P (X = 0) = 1 −
8
0
!
1 0
3
2 8
3
=
2 8
3
≈ 0, 04.