Übungsblatt 9

Mathematische Methoden der Physik II
Gruppe 1: Mo. 10:30, 5M; 2: Mo. 12:30 25.32.03.51
3: Mo. 12:30 25.22.U1.72; 4: Di. 14:30 25.32.03.51
Bitte immer Gruppennummer angeben!
Bitte jede Aufgabe auf ein separates Blatt!
Abgabe: 11.06.2012 bis 11:00
Alexander Pukhov
Tobias Tückmantel
Johannes Thomas
Sebastian Münster
Oliver Jansen
Übungsblatt 9
Fourier-Reihen
Aufgabe 1
Beweisen Sie die folgenden Beziehungen für alle natürlichen Zahlen n und m!
(
Z π
2π,
für m = n = 0
a)
cos(mx) cos(nx)dx =
πδmn , sonst
−π
(
Z π
0,
für m = n = 0
b)
sin(mx) sin(nx)dx =
πδmn , sonst
−π
(2 Punkte)
(2 Punkte)
Z π
sin(mx) cos(nx)dx = 0
c)
(2 Punkte)
−π
Aufgabe 2
Berechnen Sie die reelle Fourier-Reihe der folgenden Funktionen:
a) f (t) = t für 0 ≤ t < 2π, f (t + 2π) = f (t).
(
1, für − T2 < t < 0
.
b) g(t) =
0, für 0 < t ≤ T2
c) h(t) = | cos(t)| für 0 ≤ t < π, h(t + π) = h(t).
(3 Punkte)
(3 Punkte)
(4 Punkte)
Aufgabe 3
(4 Punkte)
∞
iω
t
k
Berechnen Sie die Fourier-Reihe f (t) ≈ ∑k=−∞ Ck e
der Funktion f (t) = | sin(t)| mit
π
2kπ
π
− 2 ≤ t < 2 , f (t + π) = f (t) und ωk = T .
Aufgabe 4∗
Zeigen Sie, dass
(5∗ Punkte)
1
π2
=
∑ 2 6.
n=1 n
∞
1. TIPP: Berechnen Sie die Fourier-Reihe von f (x) = x2 für x ∈ [−1, 1[, f (x + 2) = f (x).
2. TIPP: Betrachten Sie f an der Stelle x = 1.
1