Mathematik für Studierende der Biologie

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN
FAKULTÄT
FÜR
BIOLOGIE
Prof. Christian Leibold, Dr. Stefan Häusler
Department Biologie II
Großhadernerstr. 2
82152 Planegg-Martinsried
8. Übung
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Telefon: 089-2180-74800
Fax: 089-2180-74803
Mathematik für Studierende der Biologie
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25.11.2014
Die Aufgaben werden in den Tutorien vom 4. Dezember - 8. Dezember besprochen.
Aktuelle Infos und Übungszettel finden Sie unter:
http://neuro.bio.lmu.de/teaching/mathe-bio_ws/index.html
1. (Komplexe Zahlen: Darstellung) Zeichnen Sie die folgenden Zahlen in der komplexen Ebene und
geben Sie jede Zahl in kartesischen Koordinaten und in Polarkoordinaten an.
(a)
(1 + i)
√
(d) (i + 3)2
(g)
(b)
(1 − i)
(c)
(1 + i)2
(e)
2(cos(π/4) + i sin(π/4))
(f)
4(cos(4π/3) + i sin(4π/3))
2 exp(−i3π/2)
2. (Komplexe Zahlen: Darstellung) Welche Figur bilden die Punktmengen (z ∈ C), für die gilt:
(a) |z| ≤ 3
(b) |z + 1| + |z − 1| = 8
(d)
(e)
(h)
Im(z) + Re(z) = 1
(g) z = −z̄
(c)
Im(z) > Re(z)
0 ≤ arg(z) < π/2
(f)
|z − 1 + i| = 4
1 < (z − 1)(z̄ − 1) < 2
(i)
0 < z + z̄ < 1
3. (Komplexe Zahlen: Addition, Multiplikation, Division)
Berechnen Sie (bringen Sie komplexe Audrücke in kartesische Koordinaten):
(2 + i) + (−1 + i)
(b)
(2 + i) − (−1 + i)
(c) |2 + i|, arg(2 + i)
(d) | − 1 + i|, arg(−1 + i)
(e)
i2
(f)
− i(2i + 1)
(2i − 3)/(1 − 3i)
(h)
ln(i)
(i)
(2i)2i
(a)
(g)
4. (Komplexe Zahlen) Finden Sie die komplexen Zahlen z, welche folgende Gleichungen lösen
(a) z 4 = −1
(b) z 2 + 2z + 2 = 0
(bitte wenden)
5. (Komplexe Zahlen: Wurzeln) Mit Hilfe der Darstellung z = r eiϕ können wir sehr einfach Wurzeln
von beliebigen komplexen Zahlen z berechnen. Dazu aber erst eine Vorüberlegung:
√
(a) Schreiben Sie die komplexe Zahl z0 = 2 eiπ/4 in der arithmetischen Darstellung (z=x+iy).
Nutzen Sie dazu die Eulergleichung.
√
√
(b) Was erhalten Sie für √
die arithmetische Darstellung der Zahlen z1 = 2 ei(π/4+2π) , z2 = 2 ei(π/4+4π)
und allgemein zk = 2 ei(π/4+2kπ) , (k ∈ Z) ?
(c) Zeigen Sie für beliebige Zahlen z, daß gilt
z = r eiϕ = r ei(ϕ+2kπ) , k ∈ Z .
Jede komplexe Zahl kann also auf unendlich viele verschiedene Weisen dargestellt werden (für
jedes k eine).
(d) Ziehen Sie nun aus z = 4 ei(π+2kπ) , k ∈ Z die Wurzel, berechnen Sie also z 1/2 . Welchen Betrag hat
z 1/2 ? Was erhalten Sie als Argument von z 1/2 für k = 0, 1, 2, 3, 4? Wieviele tatsächlich verschiedene
Zahlen erhalten Sie also? Zeichnen Sie diese und z in die Gaußsche Zahlenebene ein. Haben Sie
gemerkt, daß Sie gerade die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen haben?
(e) Berechnen Sie genauso wie in (d) die dritte Wurzel aus z = 8 ei(π/2+2kπ) . Wieviele verschiedene
Lösungen erhalten Sie diesmal? Skizzieren Sie das Ergebnis und z in der Gaußschen Zahlenebene.
(f) Wir wollen die Gleichung x2 = 9 nach x auflösen. Dazu müssen wir aus 9 die Wurzel ziehen.
Gehen Sie dabei so vor wie in Teilaufgabe (d) (welchen Betrag und welches Argument hat die
reele Zahl 9 ?). Wieviele Lösungen erhalten Sie? Kommt Ihnen das bekannt vor?
6. (Komplexe trigonometrische Funktionen) Es lassen sich einige trigonometrische Funktionen mit
Hilfe der Exponentialfunktion auch für komplexe Argumente z ∈ C definieren:
sin(z) =
cos(z) =
sinh(z) =
cosh(z) =
eiz − e−iz
,
2i
eiz + e−iz
,
2
ez − e−z
(Sinus Hyperbolicus) und
2
ez + e−z
(Cosinus Hyperbolicus),
2
(1)
(2)
(3)
(4)
mit der imaginären Einheit i und z ∈ C.
Beweisen Sie folgende Gleichungen für x, y ∈ R:
(a)
sin(iy) = i sinh(y)
(b)
cos(iy) = cosh(y)
(c)
sin(x + iy) = i cos(x) sinh(y) + sin(x) cosh(y).
7. (Komplexe Zahlen: Ableitung) Die Bahn eines Teilchens liegt in einer Ebene und kann in Abhängigkeit
von der Zeit t durch z = 1+2e4it parametrisiert werden. Berechnen Sie Geschwindigkeit und Beschleunigung. Welche Form hat die Bahn? Wohin zeigen Geschwindigkeit und Beschleunigung bei t = 0 und
bei t = π/8?