Mathematik I

TechnischeUniversität Ilmenau
Institut für Mathematik
Prof. Dr. Bernd Marx
WS 2008/09
FZT, MB, MTR, OTR
Mathematik I
Übungsserie 3 (3.11. - 7.11.2008)
1. Komplexe Zahlen: Ü1, 3.12. hi, 3.13. abcg
a) Man berechne den absoluten Betrag und das Argument der komplexen Zahl zi und
gebe jeweils die trigonometrische und die exponentielle Form von zi an:
√
√
1
3
(1 − i)2
z1 = 1 + i, z2 = 3 + i, z3 = − + i
, z4 =
.
2
2
1+i
b) Man bestimme von der komplexen Zahl zi Real- und Imaginärteil:
√
5
2
z5 = reiϕ mit r = 4, ϕ = π ;
z5 = reiϕ mit r = 2 3, ϕ = − π.
6
3
2. Potenzieren und Radizieren in C: Ü1, 3.14. ace, 3.17. ce
a) Man stelle die folgenden Zahlen zi in trigonometrischer Form und in der Gestalt
√ ¢3
√ ¢8
¡
¡
x + iy dar:
z1 = (1 − i)6 , z2 = 2 − i 3 , z3 = i − 3 .
√
b) Man bestimme alle verschiedenen Werte wj , j p
= 0, 1, ..., (n − 1) , die sich für n z
√
√
4
ergeben:
z4 = 3 −2 + 2i, z5 = −8 + i8 3 .
3. Gaußsche Zahlenebene: Ü1, 3.16. bcdk
Man veranschauliche in der Gaußschen Zahlenebene die folgenden Mengen:
√
©
ª
M1 := z ∈ C |0 < 2 Im (z) < |z| ,
M2 := {z ∈ C | |z − (3 − 4i)| = 3} ,
M3 := {z ∈ C | |z + 2 − i| ≥ 2} ,
M4 := {z ∈ C | |z + 2i| > |2z + z|}.
4. Formel von Moivre:
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ
Man beweise mithilfe der Formel von Moivre die trigonometrischen Beziehungen
sin 2ϕ = 2 · sin ϕ · cos ϕ ,
cos 2ϕ = 2 · cos2 ϕ − 1.
5. Funktionen
Man gebe von folgenden Funktionen f | R → R den größtmöglichen Definitionsbereich
Df und den zugehörigen Wertebereich Wf an und fertige vom Graphen eine Skizze an:
√
p
1
a) f (x) = ex−1 +1, b) f (x) = ln (x + 2)2 , c) f (x) = x |x|+ x2 , d) f (x) = 1 − |x|.
2
6. Inverse Funktionen
Man bilde die inversen Funktionen zu folgenden Funktionen f | R → R und gebe zu f
und f −1 jeweils den Definitionsbereich und den Wertebereich an:
a) f (x) = (x + 1)2 , Df = [−1, ∞) ; b) f (x) = 2x −1, Df = R; c) f (x) = 2x−1 , Df = R;
√
x−4
d) f (x) = ln (x − 1) , x > 1; e) f (x) = √
, x ≥ 0.
x+1
7. Graph einer Funktion
Folgende Funktionen sind auf ganz R definiert. Man skizziere die Graphen der Funktionen fi (i = 1, 2, 3) :
¯
¯
¯
¯
3
f1 (x) = |x2 − 4x + 3| , f2 (x) = e|x−4| , f3 (x) = ¯¯ sin (2x) + 1¯¯ .
2
8. Polynome, rationale Funktionen: Ü1, 6.22. b
a) Man bestimme die Zerlegung der Polynome fi (i = 1, 2) in reelle Elementarfaktoren
(Linearfaktoren und irreduzible quadratische Faktoren) mithilfe einiger angegebener
Nullstellen:
f1 (x) = 2x5 + 4x4 − 4x3 − 8x2 + 2x + 4,
x1 = −1 (doppelte Nullstelle);
f2 (x) = x5 − 12x4 + 56x3 − 120x2 + 100x, x1 = 3 + i.
b) Man ermittle von der gebrochenen rationalen Funktion f den Definitionsbereich,
die Nullstellen, Polstellen, Asymptoten und skizziere den Graphen von f :
x3 − 3x2 − 4x + 12
f (x) =
.
x2 + 5x + 6
9. Hyperbolische und Areafunktionen
a) Man stelle sich mithilfe einer Formelsammlung bzw. eines Lehrbuches die Definition
und Eigenschaften der Hyperbelfunktionen sinh und cosh zusammen.
b) Man bestätige die folgende Darstellung der Umkehrfunktion von f mit f (x) =
sinh x, Df = R :
√
¡
¢
f −1 | R → R mit f −1 (x) = arsinh x = ln x + x2 + 1 .
2