Übungsblatt 1

Mathematische Methoden der Physik II
Gruppe 1: Mo. 10:30, 5M; 2: Mo. 12:30 25.32.03.51
3: Mo. 12:30 25.22.U1.72; 4: Di. 14:30 25.32.03.51
Bitte immer Gruppennummer angeben!
Abgabe: 16.04.2012
Alexander Pukhov
Tobias Tückmantel
Johannes Thomas
Sebastian Münster
Oliver Jansen
Übungsblatt 1
Wiederholung und Auffrischung
Aufgabe 1 (2 Punkte)
Berechnen Sie die Partialsumme
n
Sn = ∑
i=1
i2 + i + 0
i2 + i + 1
−1
.
TIP: Teleskopsumme und Partialbruchzerlegung
Aufgabe 2 (3 Punkte)
Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr, oder falsch sind:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
(ex )ln(y) = yx
ln(a + b) · ln(a − b) = ln(a2 − b2 )
2
2
ea+b · ea−b = ea −b
π exp exp i
= −1
2
Im(ii ) = 0
loga (x) = logb (x) · loga (b)
√
√
sin(2x) + cos(2x) = (cos(x) + (1 − 2) sin(x)) · (cos(x) + (1 + 2) sin(x))
Aufgabe 3 (1 Punkt)
Berechnen Sie
ln(x/a)
.
x→a sin(a − x)
lim
Aufgabe 4 (3 Punkte)
Bestimmen Sie das Konvergenzgebiet der Funktion
(
∞
rn ,
f (z) = ∑ an (z − r)n mit an = −n
r ,
n=−∞
1
für n ≤ 0
und r ∈ R+ .
für n > 0
Zeichnen Sie das Gebiet in ein Koordinatensystem.
Aufgabe 5 (2 Punkte)
Bestimmen Sie für zwei beliebige Zahlen x0 , x1 ∈ R die Taylorreihe von
f (x) =
1
x0 − x
um die Stelle x1 .
Aufgabe 6 (3 Punkte)
Berechnen Sie folgende bestimmte und unbestimmte Integrale:
a)
b)
c)
Z
esin(x) · sin(sin(x)) · cos(x)dx
Z 0
Z−∞
∞
0
ln(x3 )δ (x2 − 4x + 3)dx
ln(x3 )δ (x2 − 4x + 3)dx
Aufgabe 7 (2 Punkte)
Sei z ∈ C und w : C −→ C. Drücken Sie Im(w), Re(w), |w| und arg(W ) durch arg(z) und
|z| aus.
ln(z)
w = z+
z
Aufgabe 8 (3 Punkte)
Berechnen Sie für
~a = (1, 0, −1)t ~b = (1, 1, 3)t ~c = (0, 0, 1)t
a)
b)
c)
(~a +~b) ·~c
~a × (~b −~c)
Ψn =~c × Ψn−1 mit Ψ1 =~c × (1, 0, 0)t
Aufgabe 9 (2 Punkte)
Berechnen Sie alles kritischen Stellen von
f (x, y, z) = xyz2 − xy2 + z2
2
und n ∈ N
auf dem Gebiet [−1, 1]3 .
Aufgabe 10
Sei
(4 Punkte)
Z = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 ≤ R2 } ∩ {(x, y, z) ∈ R3 |z ∈ [0, h]}
ein Zylinder mit Höhe h und
P = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 ≤ z4 } ∩ {(x, y, z) ∈ R3 |z ∈ [0, h]}
der Rotationskörper, der durch Rotation von f (z) = z2 um die z-Achse entsteht.
Berechnen Sie durch eine möglichst geschickte Koordinatenwahl
a)
Z
(x2 + y2 )dxdydz
b)
Z
Z
(x2 + y2 )dxdydz.
P
Aufgabe 11 (5 Punkte)
Ein Flugzeug der Masse m=25t wird von einer Turbine mit einer Schubkraft von
Fs = 50kN angetrieben. In der Luft erfährt es die Luftreibungskraft Fr = −ω v, wobei
ω = 90Ns/m der Reibungskoeffizient und v die Geschwindigkeit des Flugzeugs ist. Das
Flugzeug fliegt zur Zeit t = 0 am Ort x0 = 0 mit Geschwindigkeit v0 = 0 los.
a)
b)
c)
Überlegen Sie, welche Aussagen Sie bereits jetzt für den Fall Fs = Fr machen können.
Gibt es eine maximale Geschwindigkeit? Wenn ja, wie hoch ist sie in km/h?
Wie weit ist das Flugzeug eine halbe Stunde nach dem Start geflogen?
Aufgabe 12 (5 Punkte)
Eine Kugel mit Masse m = 1kg und Querschnittsfläche σ wird in einer Höhe h = 10m
unter dem Winkel α = 0◦ mit der Geschwindigkeit v0 = 300m/s abgeschossen. Die
Kugel erfährt die abbremsende Kraft ~Fr = −ω~v, wobei der Luftreibungskoeffizient ω
proportional zu σ ist. In y-Richtung wirkt zusätzlich die Gravitationskraft Fg = −mg.
a)
b)
c)
d)
Skizziere die vorliegende Situation.
Wann und wo trifft die Kugel am Boden auf?
Wann darf man die Luftreibung vernachlässigen?
Wie lang ist die Flugbahn der Kugel, wenn man die Luftreibung vernachlässigt?
3