6. Aufgabenblatt - Institut für Mathematik

Institut für Mathematik, Universität Zürich
Prof. E. Bolthausen
http://www.math.uzh.ch/mat184.1
6. Aufgabenblatt zur
Mathematik für die Chemie I
Abgabe bis Dienstag, 2. November 2010, 11 Uhr in der Vorlesung
R, a > 0. Zeigen Sie, dass das Polynom:
p(x) := ax5 + bx + c,
x∈R
(mindestens) eine Nullstelle x0 ∈ R besitzt.
Hinweis: Konstruieren Sie Zahlen r, l ∈ R mit p(l) < 0 und p(r) > 0 und benützen Sie
Aufgabe 1 Gegeben seien a, b und c ∈
den Zwischenwertsatz.
(1 Punkt)
R
Aufgabe 2 Welche der folgenden Funktionen sind auf ganz
stetig:


1
2


x ∈ ]−∞, −1[
x
sin( x )/x x < 0
p
π
(b) b(x) :=
(a) a(x) := |x|
x ∈ [0, 4 ]
|x| |x| ≤ 1




π
1−x x≥1
sin(x)
x> 4
(
(
|x|
0
x=0
x 6= 0
x
(c) c(x) :=
(d)
d(x)
:=
1
x 6= 0
0
x=0
cos(x)
Begründen Sie Ihre Aussagen.
Aufgabe 3
(2 Punkte)
(a) Berechnen Sie den Grenzwert:
2
2
lim 3x + x1 − x + x1
x→0
(b) Konvergiert für x → ∞ die Funktion:
f (x) :=
1
x
· exp sin(x)
(c) Berechnen Sie den Grenzwert:
e2x
x→1 x3 − 2x2 − 2x − 3
lim
(3 Punkte)
Bitte wenden.
Aufgabe 4 (a) Bestimmen Sie analog zum Beispiel 6.4 im Skript die Ableitung der
Funktion 1/x2 , x > 0, indem Sie in den Differenzenquotienten
1
1
1
−
h (x + h)2 x2
zum Limes h → 0 übergehen.
(b) Beweisen Sie die Formel
dxn
= nxn−1 , n ∈ N
dx
mit Hilfe der Produktregel (Satz 6.7) und vollständiger Induktion.
(2 Punkte)
Aufgabe 5 Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung A → A, wobei A eine
endliche Menge ist. Wir betrachten A := {1, . . . , 4} und f, g : A → A mit:
f (1) = 1,
f (2) = 3,
f (3) = 4,
f (4) = 2,
g(1) = 2,
g(2) = 3,
g(3) = 4,
g(4) = 1.
(a) Zeigen Sie, dass f und g Permutationen sind.
(b) Berechnen Sie h1 := f ◦ g und h2 := g ◦ f .
(c) Zeigen Sie dass h1 und h2 wieder Permutationen sind, und entscheiden sie, ob
h1 = h2 ist.
(2 Punkte)