ITTK (Abendform) Grundlagen der Analysis und Lineare Algebra H

ITTK (Abendform)
Grundlagen der Analysis und Lineare Algebra
H. Länger
3. Übung, 12. bzw. 25. Oktober 2016
15. Zeigen Sie: Ist (an ) eine Folge und definiert man
bn :=
an
1
und cn :=
n(|an | + 1)
n(|an | + 1)
∀n ∈ N,
so sind (bn ) und (cn ) wohldefinierte Nullfolgen, und es gilt
cn 6= 0 und an =
bn
cn
∀n ∈ N
(Hinweis: |a/b| = |a|/|b| und |ab| = |a| · |b|).
16. Überlegen Sie sich, für welche reellen Zahlen a die Folge (an ) mindestens einen
Häufungspunkt besitzt.
17. Zeigen Sie, dass −1 ein Häufungspunkt der Folge
((−1)n (1 −
1
1
)− )
2
n
n
ist, indem Sie zeigen, dass in jeder ε-Umgebung von −1 unendlich viele Folgenglieder
mit ungeradem Index liegen.
18. Zeigen Sie
n2 − 3/2
= 1,
lim
n→∞ n2 − 1/2
indem Sie zu jeder positiven reellen Zahl ε eine natürliche Zahl N (ε) bestimmen,
sodass für alle n > N (ε) gilt
n2 − 3/2
| 2
− 1| < ε.
n − 1/2
19. Berechnen Sie mit Hilfe des Einschließungskriteriums den Grenzwert der Folge
r
r
n2 + 1
n2 + n
(
+
·
·
·
+
).
n4 + 1
n4 + n
20. Berechnen Sie
√
√
1/n − 1/(n + 1)
n+3− n+2
lim
und lim √
√
n→∞ 1/(n + 2) − 1/(n + 3)
n→∞
n+1− n
√
√
√ √
(Hinweis: Erweitern Sie den letzten Bruch mit ( n + 1 + n)( n + 3 + n + 2)).
p
p
√
√
21. Berechnen Sie lim ( n + n− n − n), indem Sie diese Differenz als Bruch mit
n→∞
Nenner 1 auffassen und diesen Bruch mit der Summe der Wurzeln erweitern.