Mathematische Methoden der Physik ¨Ubungsblatt 2

Institut für Theoretische Physik
PD Dr. Michael Seidl
16.4.2014
Mathematische Methoden der Physik
Übungsblatt 2
Die Aufgaben 1 bis 4 sind schriftliche Hausaufgaben.
Abgabe: Mittwoch, 23.4., bis 10.00 Uhr (per Einwurf in die Kästen ...).
Aufgabe 1: Entwicklung der Wurzel
q
q
√
4
4
) = 11 1 + 121
ohne Wurzeltaste
(a) Berechnen Sie die Wurzel 125 = 121 · (1 + 121
eines Taschenrechners näherungsweise, indem Sie die Taylor-Entwicklung
√
1 + x = a0 + a1 x + a2 x2 + ...
um x0 = 0 (i) nach der Ordnung von x bzw. (ii) nach der Ordnung von x2 abbrechen.
Vergleichen Sie jeweils mit dem exakten Wert (mit Wurzeltaste).
√
(b) Gewinnen Sie auf ähnliche Weise Näherungswerte für 80.
(c) Benutzen Sie obige Entwicklung, um die beiden nächsten Terme ∼ p4 und ∼ p6 in
der Entwicklung der Energie E eines kräftefreien Teilchens der (Ruh-)Masse m,
E≡
p
p2 c2 + m2 c4 = mc2 +
p2
+ ...,
2m
im nicht-relativistischen Grenzfall p ≪ mc zu berechnen. Geben Sie alle vier Terme
mc2 , p2 /2m, ... in Joule an für den Fall m = 1 kg und p = 100 kg ms .
Aufgabe 2: Ordnung des Verschwindens
√
(a) Wir betrachten die Funktion f (x) = 1 + x3 − 1. Mit welcher Ordnung O(xn )
verschwindet f (x) für x → 0? M.a.W.: Bestimmen Sie durch Taylor-Entwicklung
von f (x) um x0 = 0 die Potenz n so, daß
f (x)
= C,
x→0 xn
lim
mit endlichem C 6= 0.
Hinweis: Bestimmen Sie nur soviele Terme der Taylorreihe wie nötig.√Die Rechnung
vereinfacht sich erheblich, wenn Sie auf die Entwicklung von g(u) = 1 + u − 1 um
u0 = 0 zurückgreifen (warum ist dies zulässig?).
(b) Mit welcher Ordnung O(xn ) verschwindet folgende Funktion für x → 0?
1 x
e + e−x − 1.
g(x) = cosh x − 1 :=
2
3
Aufgabe 3: Komplexe Zahlen
(a) Berechnen Sie die Produkte (2+3 i )2, (2−3 i )2 und (2+3 i )(2−3 i ), und verifizieren
Sie die entsprechenden binomischen Formeln.
(b) Bringen Sie folgende Brüche auf die Form z = x + i y, mit x, y ∈ R:
z =
50 − 75 i
,
4− 3i
−5 + 8 i
.
6+2i
z =
Zur Probe: Multiplizieren Sie Ihr Ergebnis jeweils mit dem ursprünglichen Nenner.
(c) Geben Sie Betrag r = |z| und Argument φ = arg(z) an für
√
√
z = 1,
z = i,
z = 1 + i,
z = 7 2( i − 1),
z = 7(1 − i 3).
(d) Skizzieren Sie die vier Lösungen z1,2,3,4 der Gleichung z 4 = 8(1 + i
in der komplexen Zahlenebene.
√
3) als Punkte
Aufgabe 4: Polylogarithmen
Vorbemerkung: Ideale Gase zeigen infolge der Quantenmechanik bei tiefen Temperaturen Abweichungen vom klassischen Verhalten pV = nRT . Bei deren Berechnung stößt
man auf die sog. Polylogarithmus-Funktionen Liℓ (x) der Ordnung ℓ. Während
Li0 (x) =
x
,
1−x
Li1 (x) = − ln(1 − x),
lim Liℓ (x) = x,
ℓ→∞
so ist der Polylogarithmus der Ordnung ℓ = 52 gegeben durch das Parameterintegral
Z ∞
4
2
Li5/2 (x) := − √
dt t2 ln(1 − xe−t )
(−∞ < x ≤ 1).
π 0
Zeigen Sie durch Entwicklung von ln(1 − u) um u = 0, daß für |x| < 1 gilt
∞
X
x3
xn
x2
.
Li5/2 (x) = x + 5/2 + 5/2 + ... =
2
3
n5/2
n=1
Hinweis: Nehmen Sie an, daß Integration und Summation vertauschbar sind gemäß
Z
0
∞
2
dt t
∞
X
n=1
−nt2
an e
=
∞
X
n=1
an
Z
∞
2
dt t2 e−nt .
0
Zeigen Sie weiter durch partielle Integration:
Z
Z ∞
1 ∞
2
2 −t2
dt e−t .
dt t e
=
2 0
0
R∞
√
2
Das Gaußintegral −∞ dt e−t = π darf als bekannt betrachtet werden.
4