Technische Universität München WS 2004/2005 Fakultät für

Technische Universität München
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. J. Edenhofer
Dr. J. Weber (in honoris causa)
WS 2004/2005
Übung 1
Mathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften I
Aufgabe H 1: (001A)
Studieren ist teuer! Sie schreiben deshalb an das Bafög-Amt: “SEND MORE MONEY“. Die
Behörde will aber zuerst einen Leistungsnachweis und sendet ein Rätsel zurück:
+
S
M
E
O
N D
R E
u4
M
u3
u2
u1
O
N
E
Y
Jeder Buchstabe steht (genau) für eine Ziffer aus {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} und eine Ziffer wird
höchstens einmal vergeben. Nullen vor einer Zahl schreibt man nicht. Lösen Sie das Rätsel!
Aufgabe H 2: (000A)
Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke (Terme):
1. ac − (b(d − a)) − (−da + b(a − d))
ax
x−1
3.
·
2
x −1
x
(a + ab)x + (b + 1)a
5.
x2 − 1
2. (a + x)2 + (x − a)2 + 2(a − x)(x − a) − (2x)2
x−1 x+1
4.
+
x+1 1−x
Aufgabe H 3: (000B)
Lösen Sie die folgenden Gleichungen. Dabei sind a, b feste Zahlen und x ist gesucht.
1.
x2 = x
2.
(x − 5) · (x + 1) = 0
3.
0=a·x+b
4.
x(x − 5) = −6
√
2x + 3 = x
(Prüfen Sie Ihre Ergebnisse!)
√
√
x ∈ IR ∧ x − 3 = 1 − x
5.
6.
(Achtung : Dürfen Sie durch x teilen?)
(Achtung : Was ist, wenn a = 0 gilt?)
Aufgabe T 1: (002A)
Vereinfachen Sie die folgenden Terme rechnerisch und grafisch!
!
2
−3
a) 2
+
1
−2
!
!
!
!
1 5
1.5
−1
b)
−
+
2 −4
−1
1
Aufgabe T 2: (002B)
Punkte werden mit grossen Buchstaben (A, B, . . .) bezeichnet,
die Ortsvektoren dazu mit kleinen (~a, ~b, . . .). Entnehmen Sie
aus nebenstehender Grafik die Koordinaten der Punkte A, B,
deren Ortsvektoren, berechnen Sie den Vektor von A nach B
und den Abstand zwischen den Punkten A und B.
x2
6
rA
3
4
r
−1
8
- x1
B
Aufgabe T 3: (003, 52)
Gegeben sind die Matrizen
A=


−2
2
1 0 −2


2 , C =
, B = −2
−3 1 −4
1 −1
!



Bestimmen Sie alle möglichen Summen und Produkte dieser Matrizen.
Aufagbe T 4: (003A)
Gegeben seien die Matrix A ∈ IR2,2 und der Vektor ~x ∈ IR2 :
1 1 −1
A= √
1
2 1
!
!
~x =
1
0
Berechnen Sie A0 ~x, A1 ~x, A2 ~x, . . . und stellen Sie Ihre Ergebnisse grafisch dar.
Aufagbe T 5: (004D) (Permutationsmatrizen)
Gegeben sind die Matrizen






1 0 0
0 0 1
d11 d12 d13






A :=  0 0 1  , B :=  0 1 0  , D :=  d21 d22 d23  .
0 1 0
1 0 0
d31 d32 d33
a) Beschreiben Sie die Wirkungen von A, indem Sie AD und DA berechnen.
b) Geben Sie die Inverse zu A an, d.h. die Matrix A−1 mit AA−1 = E.
c) Prüfen Sie ob AB = BA gilt.

2
1 0 2
4 1 2
 


, D =  1  , E = 0 2 3  .
0 2 4
−3
2 3 1
!