Mathematik 3 für Maschinenbauer“ Gruppenübungen

Prof. Dr. Andrea Walther
Benjamin Jurgelucks
Wintersemester 2015/2016
30.10.2015
2. Übungsblatt zur
Mathematik 3 für Maschinenbauer“
”
Bitte fertigen Sie Ihre Abgabe handschriftlich und nicht mit Bleistift an. Keine Gruppenabgaben. Jeder Übungszettel soll getackert und mit Deckblatt versehen sein, auf dem
Name, Matrikelnummer, Übungsgruppe und Punktetabelle vermerkt sind. Auf ungetackerte Übungszettel wird mit Punktabzug reagiert. Alle Lösungswege sind ausreichend
zu erläutern.
Abgabe bis Montag, 9.11.2015, 10: 00 Uhr in den Kästen im ersten Stock des
D-Gebäudes.
• Kasten Nr. 119:
Übungsgruppen 1, 2, 3 und 4
• Kasten Nr. 122:
Übungsgruppen 5, 6, 7 und 8
• Kasten Nr. 123:
Übungsgruppen 9, 10, 11 und 12
Webseite zur Vorlesung: http://tinyurl.com/M3fM-WS1516
Gruppenübungen
Aufgabe G1 (Jordan-Normalform)


1 1 0


Sei A = T JT −1 ⇔ J = T −1 AT mit T := 0 1 1 ,
1 0 1


1 −1 1

1
−1
1 −1 und einer Matrix A ∈ R3×3 .
T = 2 1
−1 1
1
Entscheiden Sie ob die folgenden Matrizen J in Jordan-Normalform gegeben sind.

1

a) J = 0
0

1

e) J = 0
0


1 0
2


1 1 b) J = 0
0 1
0


1 0
2 1


1 0 f) J = 0 3
0 2
0 0



2 0
1 0 0



2 2 c) J = 0 1 0
0 2
0 0 1

0

1
4


1 1 0


d) J = 0 1 0
0 0 1
Aufgabe G2 (Anfangswertproblem, Matrixexponentialfunktion)
Lösen Sie das folgende AWP mit Hilfe der Matrixexponentialfunktion:


u0 = −3u(t) − 4v(t) , t ≥ 0



v 0 (t) = 2u(t) + 3v(t) , t ≥ 0

w0 (t) = 20w(t) , t ≥ 0



u(0) = v(0) = w(0) = 1
Aufgabe G3 (Anfangswertproblem, Matrixexponentialfunktion)
Lösen Sie das folgende AWP mit Hilfe der Matrixexponentialfunktion:


u0 (t) = u(t) + 2v(t) , t ≥ 0



v 0 (t) = −4u(t) + 7v(t) , t ≥ 0

u(0) = 7



v(0) = 3
Hinweis: Beachten Sie Aufgabe G1 Blatt 1.
Hausübungen
Abgabe bis Montag, 9.11.2015, 10: 00 Uhr
Aufgabe H1 (Jordan-Normalform, 2+2+2+2+2 Punkte)
Die Jordan-Normalform ist ein sehr hilfreiches Werkzeug bei der Behandlung von nichtdiagonalisierbaren Matrizen. Wir wollen in dieser Aufgabe mit Hilfe der Jordan-Normalform
A1000 ohne Computer berechnen für die Matrix


2
4
3


A = −1 −1 −1 ∈ R3×3 .
1
2
2
2
a) Gegeben seien




1 1 −1
1 1 0




T = −1 0 21  und J = 0 1 1 .
1 0 0
0 0 1
Berechnen Sie T −1 und zeigen Sie, dass A = T JT −1
b) Teilen Sie J in zwei Matrizen D, N derart auf, dass
• J = D + N,
• D ∈ R3×3 eine Diagonalmatrix ist und
• N i = 0 ∈ R3×3 eine Nullmatrix ist für i ≥ 3, N ∈ R3×3 (man nennt N dann
eine nilpotente Matrix)
und berechnen Sie anschließend N i für i = 0, 1, 2, 3.
c) Begründen Sie, warum für Matrizen S, B ∈ Rn×n mit S invertierbar gilt, dass
(SBS −1 )m = SB m S −1
, für m ∈ N
und folgern Sie, dass
A1000 = T (D + N )1000 T −1
d) Der Binomische Lehrsatz ist nicht nur für reelle Zahlen gültig. Im Fall von Matrizen
kann er wie folgt formuliert werden:
Seien A, B ∈ Rn×n Matrizen mit AB = BA und m ∈ N, dann gilt:
m
(A + B)
m X
m k m−k
A B
=
k
k=0
Zeigen Sie, dass DN = N D und berechnen Sie (D + N )1000 mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes für Matrizen.
Hinweis/ Erinnerung: nk (“n über k”) bezeichnet den Binomialkoeffizienten und
wird mittels
n
n!
:=
k
k!(n − k)!
berechnet.
e) Berechnen Sie nun ohne Hilfe eines Computers A1000 .
3
Aufgabe H2 (Anfangswertproblem, Matrixexponentialfunktion, 10 Punkte)
Lösen Sie das folgende AWP mittels der Matrixexponentialfunktion:






3 1 −1





0


 y(t)
y
(t)
=
−1
5
1







−2 2 4
 


1


 





y(0) = 0



0

4