(i) x ∈ R mit - Mathematik, TU Dortmund

Klausurtraining HöMa 1
Blatt 6
Wiederholung:
Wiederholungsaufgabe 1l
√
1
Gegeben seien die komplexen Zahlen z1 = 8 + 8 3 i, z2 = √ + i.
3
(i) Berechnen Sie von z1 , z2 , z1 · z2 und
z1
den Realteil, Imaginärteil, Betrag und das Argument.
z2
(ii) Berechnen Sie z62 .
Wiederholungsaufgabe 2l
Bestimmen Sie die Lösungsmengen von
(i) x ∈ R mit |6 − | x − 2|| > 2
(ii) z ∈ C mit arg z2 = − π2 und |z|2 = 2 (als z = a + bi)
(iii) z2 = −15 − 8i (als z = a + ib)
Themen: Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten
Aufgaben:
Aufgabe 1l
Gegeben seien die Matrizen
A=
1 1 −1
0 2
1

2 −1
B =  1 −3  .
0
2

und
Berechnen Sie, falls möglich A · B, B · A, A2 , B−1 , ( A · B)−1 und ( B · A)−1 , und bestimmen Sie den Rang
aller Matrizen.
Aufgabe 2l


2 −1
4
3
1 .
Invertieren Sie die folgende Matrix A =  −10
2
0 −6
Probe nicht vergessen!
Aufgabe

2

A= 3
2
3l

3 1
4 1  . Berechnen Sie A−1 und det A.
1 0
Aufgabe 4l
Invertieren Sie die Matrix

0 −1
3
1
2
1
A=
0
1 −2
2
5
0

4
0

0
2
und berechnen Sie die Lösung von A · ( x1 , x2 , x3 , x4 )T = (23, 8, −4, 20)T .
Aufgabe 5l


α
1 α
α 1
A = 2
1 −1 0
Berechnen Sie A−1 mit Hilfe der Cramerschen Regel.
Für welche α existiert A−1 ?
Aufgabe 6l
Invertieren Sie die Matrix
1+i
2
2 − i 2 − 2i
Aufgabe 7l
Gegeben sei die Matrix

An
1
2
3
..
.
2
2
3




= 


n − 1 n − 1
n
n
3 ···
3 ···
3 ···
···
···

n−1 n
n − 1 n

n − 1 n

.


n − 1 n
n
n
Zeigen Sie det An = n(−1)n−1 .
Aufgabe 8l
Bestimmen Sie die Lösung des Gleichungssystems
x1 − x2 + 4x3 + 6x4 = 0
x1 + 2x2 − 2x3 − 3x4 = 6
x1 + x2
= 4
Aufgabe 9l
Lösen Sie das Gleichungssystem A~x = ~b mit

1 1 −9 2
 1 2 −14 3
A=
 2 3 −20 4
3 5 −34 7
−13
−20
−29
−49

−17
−26 

−38 
−64

9
 14 

und ~b = 
 20  .
34
l
Aufgabe 10
Bestimmen Sie alle Lösungen ( x, y, z) ∈ R3 des Gleichungssystems
x + 2y + 3z =
4
−2x − 4y + 3z = −5
l
Aufgabe 11

Bestimmen Sie alle Lösungen von
2x1 + 3x2 + 4x3 + 12x4 + 5x5 = 20
x1 + x2 + x3 + 4x4 + x5 = 6
x1
+ x3 + 2x4
= 4
Aufgabe 12l
Für eine reelle Zahl α sei das Gleichungssystem
x1 + 2x2 + αx3 = 1
3x1 + 6x2 +
x3 = α
2x1 + 4x2 + 2x3 = 2
gegeben.
Untersuchen Sie, für welche Werte α das Gleichungssystem lösbar ist und geben Sie die entsprechenden
Lösungsmengen an.
Aufgabe 13l
(i) Sei α ∈ R. Bestimmen Sie die Lösung von
(ii) Bestimmen Sie die Lösung von
x + αy + 2z
x
+ z
3x + 2y + 2z
=
3
= −α
=
5
(1 + i )z + (−1 + 2i )w = 1
(1 − i ) z +
(2 − i ) w = i
Probe nicht vergessen!
Aufgabe 14l




p 1 2
1
Gegeben seien p ∈ R, A =  2 1 p  und ~b =  1 .
1 1 2
3− p
(i) Berechnen Sie die Determinante von A
(ii) Für welche p hat A~x = ~b genau eine Lösung?
(iii) Für welche p hat A~x = ~b keine Lösung?
(iv) Für welche p hat A~x = ~b mehr als eine Lösung? Geben Sie in diesem Fall die Lösungsmenge an.
Aufgabe 15l


1 3
Sei A =  2 5 .
1 1
Gibt es Matrizen B oder C, so dass BA = E2 bzw, AC = E3 ist? Bestimmen Sie ggf. alle solchen Matrizen.
Tip: BA = E2 ⇔ A>B> = E2 .