Aufgabe 1 (15 Punkte)

Fachhochschule Münster
Fachbereich Maschinenbau
Prof. Dr. L. Göllmann
Modulprüfung Höhere Mathematik
04.07.2016
Aufgabe 1 (15 Punkte)
Berechnen Sie eine Zerlegung der Art PA = LU für die Matrix
 −2
−1
A= 1
−1
6
1
−1
2 −1 −1
0
1
2 ,
0 −10 6
wobei P ∈ GL(4, R) eine Permutationsmatrix, L ∈ GL(4, R) eine linke untere Dreiecksmatrix mit lii = 1 für i = 1, . . . , 4 und U eine rechte obere Dreiecksmatrix ist. Wie lautet die
Determinante von A?
Aufgabe 2 (15 Punkte)
Bestimmen Sie für die Matrix
"
#
10 3 6 1
A= 8 2 5 1
14 3 9 2
zwei reguläre Matrizen Z und S bestehend aus ganzen Zahlen mit
ZAS =
h
Er
0r × 4 − r
03 − r × r 03 − r × 4 − r
i
.
mit r = Rang A.
Aufgabe 3 (25 Punkte)
Gegeben seien die beiden R-Vektorräume V = harctan t,
sowie der lineare Operator
√
t2 + 1, t2 − t + π i und W = hs, 1i
Ω:V→W
ϕ 7→ Ω[ ϕ] := 4 · ϕ(1) + sπ · ϕ0 (0).
a) Bestimmen Sie die Koordinatenmatrix MCB (Ω) bezüglich der Basen
q
t2 − t
1
t2 +1
von V und C = (s, 1) von W.
B = π arctan t, π + 1,
2 ,
b) Berechnen Sie Ω[ ϕ(t)] für ϕ(t) :=
rechneten Koordinatenmatrix.
√
2t2 + 2 + t(1 − t) − π mit Hilfe der unter a) be-
c) Bestimmen Sie eine Funktion ψ ∈ V, ψ 6= 0 mit Ω[ψ] = 0.
0
d) Bestimmen Sie zwei Basen B0 und C 0 , so dass MCB0 (Ω) in Normalform vorliegt.
1
Aufgabe 4 (30 Punkte)
Betrachten Sie den Shift-Operator Φ ∈ End V, definiert durch
Φ [ f ] : = f ( t − 1)
auf dem durch die Funktionen
~b1 = e2πit + e−t ln 2 , ~b2 = −e2πit + eπit , ~b3 = eπit + 1, ~b4 = eπit + 2
erzeugten R-Vektorraum V.
a) Bestimmen Sie die Koordinatenmatrix des Endomorphismus Φ bzgl. der Basis B =
(~b1 , ~b2 , ~b3 , ~b4 ).
b) Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte und Eigenfunktionen des Operators Φ als Teilräume
von V.
c) Welche nicht-trivialen Funktionen aus V sind invariant unter Φ?
d) Bezüglich welcher Basis B0 von V ist die Koordinatenmatrix MB0 (Φ) diagonal?
Aufgabe 5 (30 Punkte)
Betrachten Sie die gekoppelten Differentialgleichungen
ẋ1 = −4x1 − 6x2 − e−t ,
−t
ẋ2 = 3x1 + 5x2 + e ,
x1 (0) = −4
x2 (0) = 5.
1. Bringen Sie das Problem in die Standardform ~x˙ = A~x + ~b(t) eines gekoppelten inhomogenen linearen DGL-Systems erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
2. Entkoppeln Sie das System durch eine geeignete Basiswahl.
3. Bestimmen Sie die Lösung ~y(t) des entkoppelten Systems.
4. Transformieren Sie die Lösung des entkoppelten Systems zurück in die Lösung ~x (t)
des ursprünglichem Koordinatensystems.
Aufgabe 6 (15 Punkte)
Berechnen Sie unter Verwendung von Polarkoordinaten und der Transformationsformel die
in der Skizze schraffiert dargestellte Fläche A (Kurvenscheibe), die durch eine gleichmäßige
Spirallinie innerhalb eines Kreises mit Radius R begrenzt wird.
1
2R
R
1
4R
A
3
4R
2