¨Ubungen zur Linearen Algebra II

Georg Hein
Wintersemester 2010/11
Übungen zur Linearen Algebra II
Aufgabe 7.1. Wir betrachten den R-Vektorraum V = R[T ]3 der Polynome vom Grad
kleiner gleich drei. Für f, g ∈ V definieren wir ein positiv definites Skalarprodukt durch:
Z 1
I(f, g) =
f (T )g(T )dT .
0
Berechnen Sie mit dem Gram-Schmidt Verfahren aus der Basis {1, T, T 2, T 3 } eine orthogonale Basis von V !
Aufgabe 7.2. Abstand eines Vektors zu einem Unterraum
Seien V ein euklidischer Vektorraum endlicher Dimension und W ⊂ V ein Unteraum. Wir
definieren den Abstand eines Vektors v ∈ V zu W wie folgt:
d(v, W ) = inf kv − wk .
w∈W
(i)
Nutzen Sie die orthogonale Projektion PW auf W um zu zeigen: Für alle w ∈ W
gilt kv − wk ≥ kv − PW (v)k.
(ii) Zeigen Sie, dass aus kv − wk = kv − PW (v)k für ein w ∈ W folgt, dass
w = PW (v)gilt. 10
3
2
(iii) Seien v =
∈ E und der Unterraum W = span
⊂ E2 gegeben.
2
4
Berechnen Sie den Abstand s(v, W ).
Aufgabe 7.3. Auf V = R2 seien drei Bilinearformen s1 , s2 und s3 durch ihre Gramschen
Matrizen bezüglich der Standardbasis wie folgt gegeben:
0 1
3 4
1 0
.
B2 =
B3 =
B1 =
2 3
0 1
−1 0
a b
Geben Sie die Adjungierten des durch A =
beschriebenen Endomorphismus
c d
ϕA ∈ EndR (V ) bezüglich aller drei Bilinearformen an!
Aufgabe 7.4. Sei V ein euklidischer Vektorraum und ϕ ∈ EndK (V ). Sei ϕ∗ die adjungierte Abbildung zu ϕ.
(i) Zeigen Sie das ∆ϕ = ϕ∗ ◦ ϕ + ϕ ◦ ϕ∗ selbstadjungiert ist.
(ii) Zeigen Sie, dass alle reellen Eigenwerte von ∆ϕ nicht negative Zahlen sind.
(iii) Zeigen Sie, dass der Kern von ∆ϕ der Durchschnitt der Kerne von ϕ und ϕ∗
ist.
(iv) Herausforderung: Sei V der Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren
Rπ
2π-periodischen Funktionen mit dem Skalarprodukt hf, gi = −π f (x)g(x)dx
∂
und ϕ = ∂x
. Was ist ϕ∗ , was ist ∆ϕ und was ist der Kern von ∆ϕ .
Abgabe: Bis Montag, 29. November 8 Uhr, in das Fach 2 bei Raum T03 R03 D09.