(Beispiel eines Basiswechsels) Seien Φ: C3 → C3 und b1, b2

Wend Werner
Thomas Timmermann
Übung zur Mathematik für Physiker 2, SS 15
Blatt 6
Abgabe bis Mi, 3.06., 12 Uhr
Aufgabe zur Bearbeitung in der Übung, abzugeben
Aufgabe 1. (Beispiel eines Basiswechsels)
Seien Φ : C3 → C3 und ~b1 , ~b2 , ~b3 ∈ C3 definiert durch
  

 
 
x
x + 2y + 3z
1
1
~b1 = 1 ,
~b2 = 0 ,
Φ y  = 3x + 2y + z  ,
z
x+y+z
0
1
 
1
~b3 = 1 .
1
Bestimmen Sie
(a) die Darstellungsmatrix von Φ bezüglich der Standardbasis {~e1 , ~e2 , ~e3 };
P
(b) die Transformationsmatrix T = (tij )i,j , welche ~bi = j tij ~ej erfüllt;
 
 
3
−1
(c) die Koordinaten von ~v = 4 und w
~ = −2 bezüglich {~b1 , ~b2 , ~b3 };
1
0
(d) die Darstellungsmatrix von Φ bezüglich {~b1 , ~b2 , ~b3 }.
Aufgaben zur selbständigen Bearbeitung
Aufgabe 2. (Diagonalisierung der Rekursionsmatrix für die Fibonacci-Zahlen)
Wir betrachten (wie bereits in Aufgabe 2 von Blatt 10 des letzten Semesters) die Folge
(fn )n Fibonacci-Zahlen, die rekursiv definiert sind durch f0 = 0, f1 = 1 und fn+2 =
fn+1 + fn für alle n ≥ 0. Für jedes n ≥ 0 sei
fn+1
∈ R2 .
~v(n+1) :=
fn
Bestimmen Sie
(a) eine Matrix A, die ~v(n+1) = An~v(1) für alle n ≥ 0 erfüllt;
(b) die Eigenwerte und Eigenvektoren von A;
(c) Zahlen λ1 , λ2 , c1 , c2 ∈ C so, dass fn = c1 λn1 + c2 λn2 für alle n ∈ N gilt, indem Sie
~v(1) als Linearkombination von Eigenvektoren von A schreiben;
Aufgabe 3. (Diagonalisierbarkeit linearer Abbildungen)
Bezeichne Vn wie in Aufgabe 3 von Blatt 3 den komplexen Vektorraum aller Polynome
vom Grad kleiner gleich n und D, Ta : Vn → Vn den Ableitungs- und den Translationsoperator, definiert durch
D(P ) := P 0 =
∂
P
∂X
und
(Ta P )(X k ) := (X + a)k
für k = 0, . . . , n und ein festes a ∈ C \ {0}. Zeigen Sie, dass weder D noch Ta diagonalisierbar sind.
(Hinweis: Was kann man über den Leitkoeffizienten eines Polynoms sagen, das ein
Eigenvektor von D oder von P ist?)
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Wend Werner
Thomas Timmermann
Aufgabe 4. (Duale Vektorräume, duale Basen und duale Abbildungen)
Sei V ein K-Vektorraum mit Basis B = (~v1 , . . . , ~vn ). Der duale Vektorraum
V ∗ = L(V, K)
ist der Raum aller Linearformen auf V , also aller linearen Abbildungen von V nach K.
(a) Zeigen Sie, dass es für jedes j ∈ {1, . . . , n} genau ein Element ~vj∗ ∈ V ∗ gibt mit
der Eigenschaft
~vj∗ (~vj ) = 1
und ~vj∗ (~vi ) = 0 für alle i ∈ {1, . . . , n} \ {j},
und bestimmen Sie die Matrix zu ~vj∗ bezüglich der Basis B von V und der Basis
(1) von K. (Dies ist eine 1 × n-Matrix, also ein Zeilenvektor).
(b) Zeigen Sie, dass B ∗ := (~v1∗ , . . . , ~vn∗ ) eine Basis von V ∗ ist. Diese wird die zu B
duale Basis genannt.
Sei nun W ein K-Vektorraum mit Basis C = (w
~ 1, . . . , w
~ m ) und sei Φ : V → W eine
lineare Abbildung mit Darstellungsmatrix A := M (Φ)B,C . Dann ist die Abbildung
Φ∗ : W ∗ → V ∗ ,
φ 7→ φ ◦ Φ,
linear und wird die zu Φ duale Abbildung genannt.
(c) Sei φ : W → K eine lineare Abbildung und der Zeilenvektor λ1 . . . λm die
Matrix von φ bezüglich C (und der Basis (1) von K). Zeigen
Sie, dass die Matrix
von Φ∗ (φ) bezüglich B das Matrixprodukt λ1 . . . λm A ist.
(d) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von Φ∗ bezüglich der Basen C ∗ und B ∗ .
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