2 - Mathematik, TU Dortmund

Klausurtraining HöMa 1
Blatt 7
Wiederholung:
Wiederholungsaufgabe 1l
√
−x + 4
√
Sei f : R → R gegeben durch f ( x ) =
− x−4
für
für
x<4
.
x≥4
Skizzieren Sie den Graphen und bestimmen Sie – wenn möglich – die Umkehrfunktion.
Wiederholungsaufgabe 2l
Bestimmen Sie alle Nullstellen von x4 + 2x3 − 13x2 − 14x + 24.
Themen: Skalarprodukt, Basis
Aufgaben:
Aufgabe 1l

0
0 1 0 2

1
0 1 0 2
A1 = 0 1 0 2 , A2 =
, A3 =  1 2 0 1 , A4 = 
0
1 2 0 1
0 1 1 0
1


1
2
1
4
0
0
1
1

2
1

0
3
Bestimmen Sie jeweils eine Basis des Kerns von Ai , i = 1, . . . , 4.
Aufgabe 2l
Gegeben sind die vier Elemente des P3
p1 ( x ) = x2 − x, p2 ( x ) = 2x3 − 3x + 1, p3 ( x ) = x − 1 und p4 ( x ) = x3 − x.
V sei der Spann von p1 , p2 , p3 und p4 .
(i) Bestimmen Sie dim V.
(ii) Geben Sie eine Basis von V an.
(iii) Stellen Sie q( x ) = x3 − 1 als Linearkombination dieser Basis da.
Aufgabe 3l
Gegeben sind die Vektoren
 
 
 
 
 
 
1
1
0
1
1
1
~u1 =  1  , ~u2 =  0  , ~u3 =  1  , ~v1 =  0  , ~v2 =  1  und ~v3 =  1  .
0
1
1
0
0
1
(i) Weisen Sie nach, dass U = {~u1 , ~u2 , ~u3 } und V = {~v1 , ~v2 , ~v3 } Basen des R3 sind.
 
2

(ii) Welche Koordinaten hat der Vektor −2  bezüglich der Basis U, welche bezüglich V?
4
(iii) Der Vektor ~x habe bezüglich U die Koordinaten (2, 3, −1). Welche Koordinaten hat er bezüglich der
Standardbasis, welche bezüglich V?
(iv) Der Vektor ~x habe bezüglich U die Koordinaten (α1 , α2 , α3 ). Welche Koordinaten hat ~x bezüglich V?
Aufgabe 4l
Sei u1 = (2, 1, 2) und u2 = (1, 1, 3).
(i) Geben Sie eine Orthonormalbasis v1 , v2 von sp(u1 , u2 ) an.
(ii) Ergänzen Sie v1 , v2 zu einer Orthonormalbasis des R3 .
Aufgabe 5l
2 4 4 2
und U = {~x | A~x = ~0}.
Sei A =
1 2 2 2
Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von U.
Aufgabe 6l


sin t cos t sin2 t
cos2 t
. Für welche t ∈ R ist A nicht invertierbar?
Sei A =  sin t cos t cos2 t
0
sin t
cos t − sin t cos t
Aufgabe 7l
Bestimmen Sie alle 2 × 2-Matrizen S mit S = S> und S = S−1 .
Hinweis: zu jedem Paar reeller Zahlen a, b mit a2 + b2 = 1 existiert ein Winkel in ϕ ∈ [0, 2π [ mit a = cos ϕ
und b = sin ϕ.