Übungsblatt 2

Quanteninformation und Quantencomputer
SS 2016
2 . Übung
29.04.2016
Aufgabe 1
Ein wichtiges Theorem im Bereich der Quanteninformation ist das des Quantenklonverbots (no-cloning theorem). Es besagt, dass ein unbekannter Quantenzustand nicht dupliziert werden kann, d. h. es ist nicht möglich, eine exakte Kopie eines Quantenzustands zu
erzeugen, ohne dabei den Ausgangszustand zu zerstören. Formaler ausgedrückt lautet es:
Ein unbekannter Quantenzustand | ψ i kann nicht perfekt geklont werden, d. h. es existiert
keine unitäre Transformation Û für die Û(| ψ i ⊗ | i i) = | ψ i ⊗ | ψ i gilt, wobei | i i einen
(bekannten) Zustand, den sog. Initialzustand, bezeichnet.
a) Warum sind die Einschränkungen unbekannt und ohne den Ausgangszustand zu zerstören so wichtig?
b) Gäbe es eine unitäre Transformation Û, die dem Klonprozeß entspricht, dann müßte
sie offensichtlicherweise die folgenden Bedingungen erfüllen: Û| 0i i = | 00 i und
Û| 1i i = | 11 i. Zeigen Sie, dass dieser Operator Û angewandt auf einen allgemeinen
Zustand | ψi i = | ψ i ⊗ | i i mit | ψ i = α| 0 i + β| 1 i nicht das gewünschte Ergebnis
liefern kann.
c) Zeigen Sie, dass eine Transformation Û, wie sie für das Quantenklonen notwendig
wäre, nicht unitär ist.
Aufgabe 2
Die experimentelle Bestätigung für die Nichtlokalität in der Quantenmechanik erfolgte
zunächst über die Bellschen Ungleichungen. Ein Nachteil derartiger Experimente besteht
darin, dass eine Einzelmessung keine Aussage zuläßt, da es sich um Ungleichungen für Erwartungswerte handelt. Es ist somit eine mehrfache Messung nötig, die dann im Rahmen
der Fehlerauswertung eine Verletzung/Erfüllung im Rahmen einer bestimmten Standardabweichung zeigt. Eine Alternative wurde von Mermin aufgezeigt (“Bellsche Ungleichungen ohne Ungleichungen”). Hierfür betrachte man ein System aus z. B. drei Spins (A, B
und C), das sich im GHZ-Zustand (Greenberger, Horne, Zeilinger)
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| ψ i = √ (| 000 i − | 111 i)
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befindet.
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Quanteninformation und Quantencomputer,
2 . Übung,
29.04.2016
a) Schreiben Sie | ψ i in Vektorform.
b) Schreiben Sie die Operatoren
(i) P̂ = σ̂x ⊗ σ̂y ⊗ σ̂y
(ii) Q̂ = σ̂y ⊗ σ̂x ⊗ σ̂y
(iii) R̂ = σ̂y ⊗ σ̂y ⊗ σ̂x
(iv) Ŝ = σ̂x ⊗ σ̂x ⊗ σ̂x
in Matrixform.
Die Pauli-Matrizen lauten:
0 1
σ̂x =
1 0
σ̂y =
0 −i
i 0
σ̂z =
1
0
0 −1
.
c) Wenden Sie die Operatoren P̂, Q̂, R̂ und Ŝ auf | ψ i an.
d) Die zentrale Frage in der Einstein-Bohr-Debatte war, ob das Ergebnis einer Quantenmessung eine Folge des Messprozesses selbst (Bohr) oder unabhn̈gig von der
Messung (Einstein) sei. Die letztgenannte Unabhängigkeit bezeichnete Einstein als
“Realität” in dem Sinn, dass der Zustand eines jeden Systems zu jeder Zeit wohldefiniert ist und daher eine ideale Messung ein deterministisches Ergebnis liefert. Im
Fall der GHZ-Zustände impliziert das “Realitäts”-Postulat von Einstein, dass die
Ergebnisse von idealen Messungen bezüglich der drei in jedem der vier Operatoren
P̂, Q̂, R̂ und Ŝ enthaltenen Pauli-Matrizen σ̂i bereits vor der Messung festgelegt sind
und bei der Messung genau diese Werte erhalten werden. In anderen Worten, das
Ergebnis einer Messung z. B. am Spin A bezüglich σ̂x für einen beliebigen Zustand
| φ i besitzt den festgelegten Wert mA
x , unabhängig davon, bezüglich welcher der
Operatoren P̂, Q̂, R̂ oder Ŝ der Zustand des Systems aus drei Spins gemessen (oder
nicht gemessen) wird.
Zeigen Sie, dass die Annahme der “Realität” des Messergebnisses bezüglich der drei
Pauli-Matrizen im Fall des GHZ-Zustands zu einem Widerspruch mit den Vorhersagen der Quantenmechanik führt. Multiplizieren Sie zu diesem Zweck die Erwartungswerte mN
j für die in P̂ und Q̂ enthaltenen Pauli-Matrizen miteinander und
vergleichen Sie das Resultat mit dem entsprechenden Ergebnis für die in R̂ und Ŝ
enthaltenen Pauli-Matrizen.
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