AEinführung in die Algebra

A
Einführung in die Algebra
für M, MCS, LaG
Technische Universität Darmstadt
Fachbereich Mathematik
WS 2002/03
Prof. Dr. Klaus Keimel
Dr. (AUS) Werner Nickel
8./11. November 2002
Lösungen zu den Gruppenübungen Nr. 3
G RUPPEN ÜBUNGEN
G9
a) Wir haben zu zeigen, dass f −1 (H) abgeschlossen bezüglich der Verknüpfung in G1 ist. Für die
Verknüpfungen in G1 und G2 wird hier das gleiche Symbol ∗ benutzt.
Es seien a und b Elemente aus f −1 (H). Das bedeutet, dass es Elemente g und h in H gibt, so dass
f (a) = g und f (b) = h. Nun ist f (a ∗ b) = f (a) ∗ f (b) = g ∗ h ein Element in H, da H ein
Untergruppoid ist. Damit folgt a ∗ b ∈ f −1 (H).
b) Bei dem Beweis der obigen Aussage für Unterhalbgruppen muss man ebenfalls nur die Abgeschlossenheit bzgl. der jeweiligen Verknüpfungen zu zeigen. Daher kann man obigen Beweis auf
diesen Fall einfach umschreiben.
Betrachtet man die obige Aussage für Untermonoide, so muss man zusätzlich zeigen, dass das
neutrale Element von G1 in f −1 (H) enthalten ist. Da das neutrale Element von G2 in H enthalten
ist und f das neutrale Element von G1 auf das neutrale Element von G2 abbildet, liegt das neutrale
Element von G1 auch in f −1 (H).
c) Eine Untergruppe ist auch ein Untermonoid, daher müssen wir nur noch zeigen, dass mit jedem
Element a ∈ f −1 (H) auch sein Inverses in f −1 (H) enthalten ist. Dies ergibt sich aus folgender
Rechnung, wobei g ∈ H mit f (a) = g gewählt ist:
f (a−1 ) = f (a)−1 = g −1 ∈ H.
d) Hier gibt es nicht mehr viel zu zeigen, da die wesentlichen Schritte aus obigen Aussagen folgen:
Ein (Unter)Ring ist eine additive Gruppe bezüglich der Addition, also ist f −1 (S) eine Untergruppe
von R1 bezüglich der Addition.
Ein (Unter)Ring ist ein Monoid bezüglich der Multiplikation, also ist f −1 (S) ein Untermonoid von
R1 bezüglich der Multiplikation.
G10 In einer der vorherigen Gruppenübungen haben wir die Untergruppen von (Z, +) vollständig beschrieben: Zu jeder von {0} verschiedenen Untergruppe U von (Z, +) gibt es eine positive Zahl q, so dass
U = qZ = {qz | z ∈ Z}. Damit definieren wir die folgende Abbildung:
µq : Z −→ U
z 7−→ qz
Man rechnet leicht nach, dass µq ein Homomorphismus ist, was im wesentlichen an der Gültigkeit
des Distributivgesetzes in Z liegt. Da U = {qz | z ∈ Z} ist, folgt sofort die Surjektivität von µq .
Dir Injektivität ist ebenfalls leicht einzusehen: Wenn z und z 0 verschieden sind, dann sind qz und qz 0
ebenfalls verschieden. Damit ist µq bijektiv und somit ein Isomorphismus.
G11 Für einen Endomorphismus ϕ von Z und n > 0 gilt:
ϕ(n) = ϕ(1| + .{z
. . + 1}) = ϕ(1) + . . . + ϕ(1) = nϕ(1) und
{z
}
|
n
ϕ(−n) = −ϕ(n).
n
Damit ist ϕ festgelegt durch die Angabe des Bildes von 1. Ist ϕ(1) = q ∈ Z, so ist ϕ nach obigem die
folgende Abbildung:
µq : Z −→ Z
z 7−→ qz.
Dann ist ϕ offenbar auch injektiv.
Damit ϕ ein Automorphismus ist, müssen wir sicherstellen, dass ϕ surjektiv ist. Zum Beispiel muss
1 im Bild liegen, d.h. die Gleichung ϕ(1) = qz = 1 muss für q und z lösbar sein. Da beides ganze
Zahlen sind, müssen beide Zahlen Teiler von 1 sein, woraus folgt, dass q und z aus der Menge {−1, 1}
kommen.
Wenn jedoch q = 1 oder q = −1 ist, dann ist µq sicherlich surjektiv. Damit folgt, dass µ1 = idZ und
µ−1 die einzigen Automorphismen von Z sind.
G12 Das neutrale Element in einem Ring ist immer eine Einheit.
a) Man rechnet durch systematisches Probieren nach:
2 · 5 = 10 = 1,
4 · 7 = 28 = 1,
8 · 8 = −1 · −1 = 1.
Andererseits sieht man nach einigem Probieren (was eine ganz wichtige mathematische Technik
ist!!) folgendes: Betrachtet man ein Vielfaches von 3, etwa 3k, und dividiert es mit Rest durch 9,
dann ergibt sich: 3k = 9q + r oder r = 3k − 9q. Da die rechte Seite der Gleichung durch 3 teilbar
ist, ist es auch die linke Seit. Damit kann r niemals 1 sein. Also ist 3 keine Einheit.
Ähnlich argumentiert man für 6.
Insgesamt ist {1, 2, 4, 5, 7, 8} die Menge der Einheiten von Z/≡9 .
b) Man rechnet durch systematisches Probieren nach:
2 · 4· = 8 = 1,
3 · 5· = 15 = 1,
6 · 6· = −1 · −1 = 1.
Damit sehen wir, dass alle von 0 verschiedenen Elemente ein Multiplikatives Inverses haben, also
alle Elemente außer 0 eine Enheit sind.
Da Z/≡7 ein Ring ist, sehen wir das Z/≡7 sogar ein Körper ist.
Man beobachtet, dass alle Elemente, welche mit 9 (bzw. n) einen gemeinsamen (von 1 verschiedenen)
Teiler haben, keine Einheiten sind. Allgemein charakterisiert diese Eigenschaft, wie wir später sehen
werden, die Nicht-Einheiten in Z/≡n . Es wird sich herausstellen, das eine Zahl genau dann Einheit ist,
wenn ihr größter gemeinsamer Teiler mit n gleich 1 ist.
G13 Man rechnet nach, dass
α2 =
1 2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 5 6
α3 =
1 2 3 4 5 6 7
4 5 6 7 5 6 7
α4 =
1 2 3 4 5 6 7
5 6 7 5 6 7 5
α5 =
1 2 3 4 5 6 7
6 7 5 6 7 5 6
α6 =
1 2 3 4 5 6 7
7 5 6 7 5 6 7
α7 =
1 2 3 4 5 6 7
= α4
5 6 7 5 6 7 5
Man sieht, dass α7 gleich α4 ist. Daher wiederholen sich die Potenzen ab der siebten Potenz. Dies ergibt
das folgende Bild:
α6
6
α
2
-α
3
-α
α4
-
@
@
@
@
R α5
@
Daraus ergibt sich die folgende Partition der natürlichen Zahlen:
{1},
{2},
{3},
{4, 7, 10, 13, . . .},
{5, 8, 11, 14, . . .},
{6, 9, 12, 15, . . .}.
Zwei ganze Zahlen liegen in der selben Klasse, wenn die zugehörigen Potenzen gleich sind.