¨Ubungen zur Linearen Algebra II

Übungen zur Linearen Algebra II
Prof. Dr. C. Löh/D. Fauser/J. Witzig
Blatt 10 vom 29. Juni 2017
Aufgabe 1 (Elementarteiler von Moduln). Sei R ein Hauptidealring und sei U ein
Untermodul von R3 . Welche der folgenden Aussagen sind in dieser Situation immer wahr? Begründen Sie Ihre Antwort (durch einen Beweis oder ein geeignetes
Gegenbeispiel)!
1. Ist (v1 , v2 , v3 ) eine R-Basis von R3 , so gibt es Skalare α1 , α2 , α3 ∈ R
mit U = SpanR {α1 · v1 , α2 · v2 , α3 · v3 }.
2. Es gibt eine Basis (v1 , v2 , v3 ) von R3 und Primelemente p1 , p2 , p3 ∈ R
mit U = SpanR {p1 · v1 , p2 · v2 , p3 · v3 }.
Aufgabe 2 (mehr Elementarteiler). Seien
4
2
v1 :=
, v2 :=
,
−2
4
v3 :=
30
10
Bestimmen Sie alle Punkte x ∈ SpanZ {v1 , v2 , v3 } ⊂ R2 mit kxk2 ≤ 9, indem Sie
zunächst geeignete Elementarteiler und zugehörige Transformationen bestimmen.
Aufgabe 3 (schon wieder Elementarteiler). Sei
 3

T
(T + 1) −1
T
T  ∈ M3×3 Q[T ]
A :=  T
T 2 (T + 1) 1
und U := im L(A) ⊂ Q[T ]3 . Bearbeiten Sie zwei der folgenden vier Aufgaben:
1. Bestimmen Sie die Elementarteiler von A.
2. Bestimmen Sie eine Q[T ]-Basis von U .
3. Geben Sie eine Darstellung von Q[T ]3 /U als direkte Summe zyklischer
Q[T ]-Moduln an.
4. Ist Q[T ]3 /U ∼
=Z Q[T ]/(T 3 + T 2 ) ? Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 4 (Rang freier Moduln über Hauptidealringen). Sei R ein Hauptidealring
und seien m, n ∈ N.
1. Zeigen Sie: Gilt n > m und ist A ∈ Mm×n (R), so ist L(A) : Rn −→ Rm
nicht injektiv.
2. Folgern Sie: Es gilt genau dann Rn ∼
=R Rm , wenn n = m ist.
Bitte wenden
Bonusaufgabe (Staatsexamensaufgaben zu abelschen Gruppen). Die folgenden
Aufgaben sind ehemalige (teilweise leicht umformulierte) Staatsexamensaufgaben:
1. Bestimmen Sie die Anzahl der Isomorphietypen von abelschen Gruppen,
die genau 1980 Elemente enthalten, und geben Sie für jeden Isomorphietyp
ein Beispiel.
2. Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl n, so dass es genau sechs Isomorphietypen von abelschen Gruppen mit genau n Elementen gibt.
3. Sei n ∈ N>0 und sei A ∈ Mn×n (Z) mit det A 6= 0. Zeigen Sie, dass
| det A| = |Zn / im L(A)|.
4. Zeigen Sie, dass die abelsche Gruppe der positiven reellen Zahlen (bezüglich Multiplikation) zur abelschen Gruppe aller reellen Zahlen (bezüglich
Addition) isomorph ist.
Hinweis. Analysis!
Hinweis. Herzlichen Glückwunsch! Bereits mit dem jetzigen Wissen aus der
Linearen Algebra und der Analysis sind Sie in der Lage einen signifikanten
Anteil an Staatsexamensaufgaben (aber natürlich bei weitem nicht alle . . . ) zu
lösen.
Abgabe bis zum 6. Juli 2017, 10:00 Uhr, in die Briefkästen