1. Aufgabe 2. Aufgabe 3. Aufgabe - fbi.h

Algorithmik
Sommersemester 2014
Prof. Dr. Steffen Lange
1. Übungsblatt
1. Aufgabe
Es sei a[1], ..., a[n] eine gegebene Zahlenfolge der Länge n mit n ≥ 2.
Für alle i, k mit 1 ≤ i ≤ k ≤ n gilt:
• w(a, i, k) = Σkj=1 a[j],
• wr (a, k) = max{w(a, i, k) | 1 ≤ i ≤ k}.
Ist die folgende Aussage richtig oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort!
• Es gilt: wr (a, n) = max{wr (a, n − 1) + a[n], a[n]}.
Hinweis: Unterscheiden Sie in Ihrer Begründung die folgende beiden Fälle:
(a) wr (a, n − 1) ≤ 0
(b) wr (a, n − 1) > 0.
2. Aufgabe
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass folgende Aussage korrekt ist.
Für alle natürlichen Zahlen k = 0, 1, 2, . . . gilt:
k
X
i=0
i2 =
k · (k + 1) · (2k + 1)
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3. Aufgabe
Beim Composite-Problem geht es darum, zu einer gegebenen natürlichen Zahl x
zu entscheiden, ob es natürliche Zahlen a, b ∈ {2, . . . , x − 1} mit a · b = x gibt.
Die folgende Funktion composite(.) löst das Composite-Problem.
bool composite(int x) {
bool result = false;
for( int a = 2; a < x; ++a )
for( int b = 2; b < x; ++b )
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if( a*b == x ) result = true;
return(result);
}
Geben Sie eine eine einfache Funktion an, die gleichzeitig obere und untere
Schranke für die Anzahl der Multiplikationen ist, die bei der Ausführung der
Funktion composite(.) durchgeführt werden.
Hinweis: Beachten Sie, dass die Länge einer Eingabe x der Länge der Binärdarstellung von x entspricht.
4. Aufgabe
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche sind falsch? Begründen Sie
Ihre Antwort, in dem Sie jeweils geeignete Konstanten c und n0 angeben oder
zeigen, dass es solche Konstanten nicht geben kann.
(i) f (n) ∈ O(g(n)) mit f (n) = 2 und g(n) = n für alle n ∈ IN
(ii) f (n) ∈ O(2n−1 ) mit f (n) = 2n und g(n) = 2n−1 für alle n ∈ IN
√
(iii) f (n) ∈ Ω(g(n)) mit f (n) = 22 · n2 und g(n) = n für alle n ∈ IN
(iv) f (n) ∈ Θ(g(n)) mit f (n) = 8 · n3 + 4 · n2 und g(n) = n2 für alle n ∈ IN
Hinweis: Begründen Sie die richtigen Aussagen noch einmal, indem Sie die
Grenzwerte der Folgen (f (n)/g(n))n∈IN analysieren.
5. Aufgabe
Es seien f (n) und g(n) beliebige Funktionen von IN nach IR+ . Ferner sei die
Funktion h(n) so gewählt, dass h(n) = 106 · f (n) für alle n ∈ IN gilt.
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche sind falsch? Begründen Sie
Ihre Antworten!
• Wenn f (n) ∈ O(g(n)) gilt, so gilt auch h(n) ∈ O(g(n)).
• Wenn f (n) ∈ Ω(g(n)) gilt, so gilt auch g(n) ∈ O(f (n)).
• Wenn f (n) ∈ Ω(g(n)) gilt, so gilt auch f (n) ∈ Θ(g(n)).
Viel Erfolg beim Bearbeiten der Aufgaben!
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