¨Ubungen zur Linearen Algebra I

Georg Hein
Sommersemester 2012
Übungen zur Linearen Algebra I


 
1
2
Aufgabe 3.1. Wir betrachen die beiden Vektoren v1 =  2  und v2 =  3  in R3 .
5
4
 
 
 
6
3
0
Entscheiden Sie, welche der Vektoren w1 =  5 , w2 =  5  und w3 =  1  in
6
9
2
der linearen Hülle V = span(v1 , v2 ) ⊂ R3 liegen. Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 3.2. Wir betrachten die Gruppe G = R \ {0} der von Null verschiedenen reellen
Zahlen mit der Gruppenoperation Multiplikation. Welche der folgenden Teilmengen
U ⊂ G ist eine Untergruppe. Begründen Sie Ihre Aussagen!
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
U1
U2
U3
U4
U5
U6
= {u ∈ G | u > 0}.
= {u ∈ G | u > 21 }.
= {u ∈ G | |u| = 1}.
= {u ∈ G | u ∈ Q}.
= {u ∈ G | ln(|u|) ∈ Q}.
= {u ∈ G | u > 0 und ln(u) ∈ Z}.
Aufgabe 3.3. Geben Sie alle Gruppenhomomorphismen zwischen den beiden vierelementigen Gruppen G1 und G2 an, die durch ihre Gruppentafeln nachfolgend gegeben
sind.




◦ e a b c
◦ e a b c
 e e a b c 
 e e a b c 






.
G1 =  a a b c e 
a
a
e
c
b
G2 = 


 b b c e a 
 b b c e a 
c c e a b
c c b a e
Beschreiben Sie das Bild und den Kern jedes dieser Gruppenhomomorphismen.
Aufgabe 3.4. Beweisen Sie, dass jede Gruppe mit vier Elementen isomorph zu einer der
beiden Gruppen G1 oder G2 aus der obigen Aufgabe ist.
Sei M = {1; 2} so ist (P(M), ∆) eine Gruppe mit vier Elementen. Vergleichen Sie diese Gruppe mit den beiden vierelementigen Gruppen, die Sie in der vorherigen Aufgabe
kennenlernten! Mit welcher der beiden Gruppen können Sie (P(M), ∆) identifizieren?
Abgabe: Bis Montag, 7. Mai vor der Vorlesung.
Bitte schreiben Sie Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihre Übungsrückgabegruppe
auf Ihre Lösungen! Bei mehr als einem Blatt muss eine Heftklammer verwendet werden!