Blatt 3

Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Prof. A. Mielke, Dr. A. Fauck, A. Stephan
S. Hensel, M. Radons, C. Sirotenko
Analysis I*
WiSe 2016/17
Übungsblatt 3
Schriftliche Abgabe: Dienstag 15. November 2016
def
Aufgabe 3.1 (4 Punkte) Laut Vorlesung gibt es auf R eine Ordnungsrelation a ≤ b ⇐⇒
b − a ∈ R+
0 , sodass Folgendes gilt:
(O1) ∀ a, b ∈ R+
0 : 0≤a+b
(O2) ∀ a, b ∈ R+
0 : 0 ≤ ab.
Leiten Sie daraus und aus den Körperaxiomen ohne Ihre Schulkenntnisse folgende Eigenschaften her:
a) Für alle a, b, c ∈ R gilt a ≤ b ⇔ a + c ≤ b + c.
b) Für alle a, b, c ∈ R mit 0 ≤ c ∧ c 6= 0 gilt
a ≤ b ⇔ ac ≤ bc.
c) Für alle a ∈ R gilt 0 · a = 0. (Hinweis: 0 = 0 + 0)
d) Aus ab = 0 folgt
a = 0 ∨ b = 0.
Geben Sie in jeder (Un-)Gleichung die verwendeten Axiome oder bereits bewiesenen Aussagen an.
Aufgabe 3.2 (6 Punkte) Beweisen Sie: Zwischen 2 verschiedenen reellen Zahlen x < y
liegen unendlich viele rationale und irrationale Zahlen. Dazu können Sie wie folgt vorgehen:
a) Begründen Sie die Existenz eines m ∈ N sodass
k
ein k ∈ Z gibt, sodass 2m
∈ ]x, y[.
b) Zeigen Sie, dass
k
2m
√
+
2
4m
oder
k
2m
−
√
2
4m
1
m
< y − x und zeigen Sie, dass es
in ]x, y[ liegt und irrational ist.
c) Zeigen Sie per Induktion, dass unendlich viele rationale und irrationale Zahlen in
]x, y[ liegen.
Aufgabe 3.3 (6 Punkte)
a) Berechnen Sie den Real- und Imaginärteil, den Betrag und das Inverse von
1− i
2+ i
.
b) Verwenden Sie wie im Reellen die Mitternachtsformel (auch p-q-Formel genannt)
um die Nullstellen des Polynoms p(z) = z 2 + (2+2 i )z + 1+2 i zu bestimmen.
c) Bestimmen Sie alle 4 Nullstellen des Polynoms
q(z) = z 4 + (8−3 i )z 3 + (20−13 i )z 2 + (16−19 i )z + 3−21 i .
Hinweis: i und −1− i sind Nullstelle von q und nutzen Sie Polynomdivision.
Aufgabe 3.4 (4 Punkte) Skizzieren Sie die folgenden Teilmengen der komplexen Zahlenebene C. Begründen Sie Ihre Ergebnisse mit kurzen Rechnungen. Hinweis: Es kann hilfreich
sein zunächst “<” durch “=” zu ersetzen.
a) M1 := z ∈ C Re (1+ i )z < 2
b) M2 := z ∈ C 1 < |z− i | ≤ 2
c) M3 := z ∈ C |z + 1+ i | = |z − 3−3 i |
d) M4 := z ∈ C Re ( i +z)2 < 1 .
p
Dabei ist der Betrag von z durch |z| = |x+ i y| = x2 + y 2 definiert.
(bitte wenden)
1
Übungsblatt 3
Zusatzaufgabe 3.Z (3 Punkte) Für x ∈ R ist die größte ganze Zahl kleiner gleich x
definiert durch den Ausdruck bxc := max{z ∈ Z | z≤ x}. Zeigen Sie:
Ist x > 0 irrational, so gilt : bnxc + n | n ∈ N ∪ b nx c + n | n ∈ N = N.
Die folgenden Aufgaben werden in den Übungen besprochen.
Aufgabe (komplexe Zahlen)
a) Bestimmen Sie die Polarform der komplexen Zahlen z =
5
und w = (1+ i )7 .
3− i
b) Skizzieren Sie die folgenden Mengen in der Gaußschen Zahlenebene C:
M1 := z ∈ C |z − 1| = |z − 2| ,
M2 := z ∈ C |z − 3 + i | < 2 .
c) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung z 2 = 1 + 2 i .
Aufgabe (Polynomdivision)
Spalten Sie mit Hilfe der Polynomdivision den Linearfaktor x + 3 von folgendem Polynom
ab:
p(x) = x4 − 2x3 − 13x2 + 14x + 24.
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