Tutorium (08.05.2017) Aufgabe 1. Sei (G, ∗) eine Gruppe. Das Zentrum Z(G) von G ist definiert durch Z(G) = {z ∈ G | ∀g ∈ G : g ∗ z = z ∗ g}. (a) Zeigen Sie, dass Z(G) eine Untergruppe von G ist. (b) Handelt es sich bei Z(G) um eine abelsche Gruppe? (c) Wie sieht das Zentrum einer abelschen Gruppe aus? Aufgabe 2. Betrachten Sie die Gruppe (S3 , ◦) mit den 1 2 3 1 2 π1 = π2 = 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 π4 = π5 = 2 3 1 3 1 Bezeichnungen: 3 1 π3 = 2 2 3 1 π6 = 2 3 2 1 2 2 3 3 3 1 (a) Handelt es sich bei {π1 } bzw. S3 um Untergruppen? (b) Handelt es sich bei {π1 , π4 , π5 } um eine Untergruppe? (c) Gibt es zweielementige Untergruppen? Wenn ja, nennen Sie alle. (d) Wie sieht das Zentrum von (S3 , ◦) aus? Aufgabe 3. Berechnen Sie die Beträge bzw. schreiben Sie die komplexen Zahlen in der Form z = a + i · b mit a, b ∈ R. 17 − i 4+8·i c) a) (4 + 8 · i) · (3 − 2 · i)2 b) 1+i (3 + 2 · i)2 !3 √ 1 + i 2 3 1 1 e) f) − + · i d) 3+7·i 1−i 2 2 √ 2 · 6 − i 7+5·i 5 · (i + 1) 20 h) + i) g) 2+3·i i−1 3−4·i 4+3·i Aufgabe 4. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Begründen Sie! 2 2 b) Im(i · z) = Re(z) c) z 2 = (z̄)2 d) Re(7 + 13 · i) = 7 e) Im(7 + 13 · i) = 13 · i f) z = 0 ⇔ Re(z) = 0 g) |z 2 | = |z|2 h) Re(i · z) = Im(z) i) Re(i · z̄) = Im(z) a) |z| = Re(z) + Im(z) j) 2 · Im(z) = z − z̄ Aufgabe 5. Veranschauchlichen Sie nachfolgende Mengen in der komplexen Zahlenebene. 3 A := {z ∈ C | |z| = 2.5} B := z ∈ C | |z − 1| = 2 1 C := z ∈ C | |z + 2 − 2 · i| ≤ D := {z ∈ C | 2 · Re(z) − Im(z) = 0} 2 E := {z ∈ C | Re(z) = 3} F := {z ∈ C | Im(z) ≥ 2, Re(z) < −1}