Aufgaben zur Gruppentheorie

Aufgaben zur Gruppentheorie
FK Algebra WS 10/11
Felix Rötting
(1) Sei (G, ·) eine Gruppe und a ∈ G. Sei x ◦ y := x · a · y für alle x, y ∈ G. Dann ist
auch (G, ◦) eine Gruppe.
(2) Es gelte g 2 = e für alle g ∈ G. Dann ist G abelsch.
Q
(3) Sei Q
G endlich und abelsch. Dann gilt g∈G g 2 = e. Man finde eine ähnliche Aussage
zu g∈G g.
(4) Seien A, B ≤ G Untergruppen von G. Dann ist A ∪ B eine Untergruppe von G
genau dann, wenn A ⊆ B oder B ⊆ A gilt. Kann man G als Vereinigung zweier
echter Untergruppen schreiben ?
Z
Q
Q
(5) Gilt ( , +) ∼
= ( , +) ? Gilt ( , +) ∼
=
Q× ?
(6) Sei H Untergruppe einer endlichen abelschen Gruppe G. Dann hat G eine Untergruppe K, die isomorph ist zu G/H. Kann man auf die Kommutativität von G
verzichten ? Kann man auf die Endlichkeit von G verzichten ?
(7) Sei G eine nicht-abelsche Gruppe. Dann ist die Gruppe Int(G) = {σ ∈ Aut(G) :
(∃h ∈ G ∀g ∈ G) σ(g) = hgh−1 } der inneren Automorphismen von G nicht zyklisch.
(8) Kann eine unendliche Gruppe nur endlich viele Untergruppen besitzen ?
N
(9) Seien n, m ∈ . Dann gilt
dann, wenn n = m.
Zn ∼= Zm (jeweils betrachtet als abelsche Gruppe) genau
(10) Sei G eine abelsche Gruppe. Eine Untergruppe H ≤ G heißt groß, falls H ∩K 6= {0}
für alle Untergruppen K ≤ G gilt. Welche Untergruppen von
sind groß ? Sei q
eine Primzahlpotenz. Welche Untergruppen von q sind groß ?
Z
(11) Man zerlege die Gruppe
cher abelscher Gruppen.
Q
Z /240 Z gemäß des Hauptsatzes über die Struktur endli-
(12) Seien G1 , G2 einfache Gruppen. Was sind die Normalteiler von G1 × G2 ?
(13) Man gebe ein vollständiges Vertretersystem der Isomorphieklassen 6-elementiger
Gruppen an.
1
(14) Sei G eine (additiv geschriebene) abelsche Gruppe und H eine Untergruppe von G.
Sei ferner φ : G → H ein Gruppenmorphismus, der φ |H = idH erfüllt. Dann ist H
direkter Summand von G, d.h. es gibt K ≤ G mit H ⊕ K = G. (Das heißt, es gilt
H + K = G und H ∩ K = {0}).
(15) Man zeige, daß die Gruppe der inneren Automorphismen Int(G) normal ist in
Aut(G), d.h. Int(G) E Aut(G).
(16) Seien p, q Primzahlen. Keine Gruppe der Ordnung pq ist einfach.
(17) Sei N E G ein zyklischer Normalteiler von G und H ≤ N eine Untergruppe von N .
Dann gilt H E G.
(18) Sei G eine endliche Gruppe. Bezeichne mit p den kleinsten Primteiler von |G|. Es
sei ferner H eine Untergruppe, sodass [G : H] = p gilt. Dann ist H normal in G.
(19) Man rechne ein bißchen in den symmetrischen Gruppen herum. (Zerlegung in disjunkte Zykeln, Produkt von Zykeln, Ordnung von Elemente etc.)
(20) In jeder Sn gilt: Ist π = (1, . . . , n) und σ ∈ Sn , so gilt πσ = σπ ⇔ σ ∈ hπi. Was
folgt für Z(Sn ) ?
(21) Die alternierende Gruppe An wird für n ≥ 3 erzeugt von der Menge {(1, 2, i) : i ≥
3}.
T
(22) Eine Operation von G auf X ist treu genau dann, wenn x∈X Gx = {eG } gilt.
Hierbei bezeichne Gx := {g ∈ G : g · x = x} die Fixgruppe von x ∈ X.
(23) Sei G eine endliche, kommutative Gruppe, die treu und transitiv auf einer Menge
X operiert. Dann gilt |G| = |X|.
(24) Eine Gruppe mit 55 Elementen operiere auf einer Menge X mit 18 Elementen.
Dann hat G auf X wenigstens 2 (verschiedene) Fixpunkte.
(25) Wieviele nicht-isomorphe Gruppen der Ordnung 15 gibt es ?
(26) Sei G eine endliche Gruppe und U G eine echte Untergruppe. Dann gilt
[
G 6=
gU g −1 .
g∈G
(27) Es seien N, M E G Normalteiler, sodass G/M und G/N jeweils p-Gruppen sind.
Dann ist auch G/(M ∩ N ) eine p-Gruppe.
(28) Sei G eine p-Gruppe und H ≤ G eine normale Untergruppe mit p Elementen. Dann
gilt H ⊆ Z(G).
(29) Sei G eine endliche Gruppe. Dann ist [G : Z(G)] keine Primzahl.
2
Z Z
(30) Man finde eine Kompositionsreihe für /n . Anschließend beweise man mit dem
Satz von Jordan-Hölder die Eindeutigkeit der Primfaktorisierung natürlicher Zahlen.
(31) Jede abelsche Gruppe, die eine Kompositionsreihe besitzt, ist endlich.
(32) Seien p, q ungerade Primzahlen. Man zeige, daß jede Gruppe der Ordnung 2pq
auflösbar ist.
(33) Sei p 6= q Primzahlen. Man zeige, daß jede Gruppe G der Ordnung p2 q auflösbar
ist.
(34) Wir schreiben [G, H] := {[g, h] : g ∈ G, h ∈ H}. Wir definieren weiter C 0 (G) := G
sowie C n+1 (G) := [G, C n (G)] und nennen G nilpotent, falls ein n existiert mit
C n (G) = {e}. Man zeige: Nilpotente Gruppen sind auflösbar.
(35) Eine Normalreihe heißt abelsch, falls alle ihre Faktoren abelsch sind. Man zeige:
Eine Gruppe ist auflösbar genau dann, wenn sie eine abelsche Normalreihe besitzt.
(Hierbei heißt eine Gruppe auflösbar, falls eine höhere Kommutatorgruppe G(n) von
G verschwindet.)
3
Q
(3) Hat G mehr als ein Element der Ordnung 2, so gilt g∈G g = e.
(5) Nein. Für die erste Aufgabe überlege man, was ein Morphimus → für Eigenschaften haben muss. Zum zweiten Teil: Kann man ausnutzen, daß
nicht vollständig
ist ?
(6) Wie kann man den Homomorphiesatz zur Anwendung bringen ? Was wissen wir
über die Struktur endlicher abelscher Gruppen ?
(7) Vorlesungshausaufgaben 9 und 10.
(8) Nein. Eine Gruppe hat genau dann nur endlich viele Untergruppen, wenn sie nur
endlich viele Elemente hat. (Beweis!)
(9) Warum ist die Aussage für
statt klar ? (Lineare Algebra !) Können wir die
vorliegende Situation geschickt transformieren, um dasselbe Argument anzuwenden ?
(10) Man beschreibe zunächst sämtliche Untergruppen von /q .
(13) Was für abelsche Gruppen der Ordnung 6 gibt es ? Alle nicht-abelschen Gruppen
der Ordnung 6 sind isomorph. Die S3 hat 6 Elemente.
(14) Man betrachte ker φ.
(26) Man schätze die Anzahl der Untergruppen gU g −1 geeignet ab. Gruppenoperationen können niemals schaden.
(30) Man finde zunächst eine Kompositionsreihe von /q , wobei q eine Primzahlpotenz sei.
Q Z
Q
Q
Z
Z Z
Z Z
4