2.¨Ubung zur Linearen Algebra II

2. Übung zur Linearen Algebra II Lösungen
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FU Berlin. SS 2010.
Aufgabe 5
In einer Gruppe ist jede Untergruppe vom Index 2 ein Normalteiler.
Folgerung: Speziell ist die alternatierende Gruppe An Normalteiler in der
symmetrischen Gruppe Sn .
Lösung
Vorbemerkung: Sei U eine Untergruppe von G, mit [G : U ] = 2. D.h. die Anzahl
der Rechts- und Linksnebenklassen von U in G ist 2. Die Nebenklassen bilden
jeweils eine Partition von G. D.h. es ex. a, b ∈ G, sodaß G = U ∪ aU = U ∪ U b.
Es folgt sofort aU = G\U = U b.
Behauptung: U ist ein Normalteiler von G. Zu zeigen ist
f.a. g ∈ G : gU = U g
Falls g ∈ U dann ist gU = U = U g, da U eine bzgl. “·” abgeschlossene
Menge ist. Andernfalls, wenn g ∈
/ U dann gilt g = g · 1 ∈ gU = G\U und
g = 1·g ∈ U g = G\U und damit gU = U g. Also ist die Normalteiler-Eigenschaft
f.a. g ∈ G erfüllt.
Aufgabe 6
Bestimme alle Normalteiler der symmetrischen Gruppe S3 .
Lösung
Als Normalteiler kommen alle Untergruppen von S3 in Frage. Nach dem Satz
von Lagrange ist die Anzahl der Elemente einer Untergruppe ein Teiler der
Anzahl der Elemente der Obergruppe. Da #S3 = 3! = 6 = 2 · 3 ist, kommen außer den trivialen Untergruppen {Id} und S3 zunächst alle Teilmengen
in Frage, die 2 oder 3 Elemente enthalten. Da beides Primzahlen sind, handelt
es sich dabei um zyklische Untergruppen, deren Elemente durch Potenzen eines
1
Erzeugenden-Elements dargestellt werden können. Dies sind die zyklischen Untergruppen (und damit alle echten Untergruppen) von S3 :
U :=< (12) >
V :=< (13) >
W :=< (23) >
< (123) >
=
=
=
=
{1, (12)}
{1, (13)}
{1, (23)}
{1, (123), (132)} = A3
Da #A3 = 21 #S3 folgt sofort [S3 : A3 ] = 2 und damit ist A3 ein NT von S3 .
Die übrigen Gruppen sind keine NT, da z.B. für V
(13)V = {(13), (123)} =
6 {(13), (132)} = V (13)
gilt.
Antwort: Die Normalteiler von S3 sind: {Id}, S3 , A3 .
Aufgabe 7
Man beweise: Der Durchschnitt von Normalteilern einer Gruppe ist wieder Normalteiler.
Lösung
Beweis für endliche Durchschnitte: Seien U1 und U2 zwei Normalteiler von G.
Dann ist U := U1 ∩ U2 wieder eine Untergruppe von G. Nach dem Normalteilerkriterium gilt f.a. g ∈ G, daß gUi g −1 ⊆ Ui . Da U ⊆ Ui also auch gU g −1 ⊆ Ui .
Zusammen ist
gU g −1 ⊆ U1 ∩ U2 = U.
Aufgabe 8
Sei (G, ◦) eine endliche Gruppe, H Untergruppe von G und U Untergruppe von
H. Man beweise:
[G : U ] = [G : H] · [H : U ]
Lösung
Beweis-Idee von C. Spiegel und W. Warnach:
Seien [G : H] = m und [H : U ] = n, also existieren ai , bj ∈ G, sodaß
∪
G=
ai H
1≤i≤m
und
H=
∪
bj U
1≤j≤n
disjunkte Vereinigungen sind. Dann wird G auf folgende Weise in Linksnebenklassen von U partitioniert:
∪
∪
∪
∪
G=
ai H =
ai
bj U =
(ai bj )U.
1≤i≤m
1≤i≤m
1≤j≤n
2
1≤i≤m
1≤j≤n
Das Vorziehen von ∪ ist erlaubt, da nach Definition aU1 ∪ aU2 = a(U1 ∪ U2 ).
Außerdem sind die Mengen (ai bj )U disjunkt, denn ai bj U = ak bl U impliziert
ai H ∩ak H 6= ∅ und damit i = k. Und weiter, falls ai bj U = ai bl U , ist auch bj U ∩
bl U 6= ∅ und damit j = l. Schließlich ist der Index [G : U ] = m · n = [G : H] · [H : U ].
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