Universität Basel – HS 2014 GRUPPENTHEORIE

Universität Basel – HS 2014
GRUPPENTHEORIE — ÜBUNGSBLATT 3
Abgabe 10.10.14 um 12.00
III.1.? (a) Man beweise, dass eine nichtleere Teilmenge H einer Gruppe G eine Untergruppe
ist, wenn für alle a ∈ H und alle b ∈ H das Element ab−1 auch in H liegt.
(b) Seien H1 und H2 Untergruppen der Gruppe G. Zeige, dass H1 ∩ H2 auch eine Untergruppe ist.
III.2.? Sei H eine Untergruppe und N ein Normalteiler der Gruppe G. Dann gilt HN = N H,
und diese Menge ist eine Untergruppe.
III.3 (a) Sei b ein festes Element einer Gruppe G. Dann meint man mit der Konjugation unter
b die folgendermassen definierte Abbildung ϕ von G auf sich: ϕ(x) = bxb−1 .
Man beweise, dass die Konjugation unter b ein Automorphismus ist.
(b) Zwei Elemente x und x0 einer Gruppe G heissen konjugiert, wenn es ein b ∈ G mit
x0 = bxb−1 gibt. Man beweise, dass Konjugiertheit eine Äquivalenzrelation auf G ist.
III.4 Seien G und H die folgenden Untergruppen von GL2 (R):
x y
x 0
G={
}, H = {
}, x > 0.
0 1
0 1
Jedes Element von G kann durch einen Punkt der (x, y)-Ebene mit x > 0 dargestellt
werden, G entspricht also einer Halbebene. Man zeichne die Partitionen der Halbebene
in Links- und Rechtsnebenklassen von H.
III.5 Sei R eine Relation auf der Menge R der reellen Zahlen. Wir können R als Teilmenge
der (x, y)-Ebene auffassen. Erklären Sie die geometrische Bedeutung der Eigenschaften
Reflexivität und Symmetrie.
III.6 Man bestimme für jeden der folgenden Fälle, ob G zum Produkt der Untergruppen H
und K isomorph ist. (Isomorphismus explizit angeben, falls er existiert.)
(a) G = R? , H = {±1}, K = {positive reelle Zahlen}.
(b) G = {invertierbare obere Dreiecksmatrizen} ⊂ GL2 (R).
H = {invertierbare Diagonalmatrizen} ⊂ GL2 (R).
K = {obere Dreiecksmatrizen mit Diagonaleinträgen gleich 1} ⊂ GL2 (R).
(c) G = {C? } und H = Einheitskreis, K = {positive reelle Zahlen}.
?
III.1 und III.2 sind Fakultativ.
A. Surroca
03.10.14
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