Algebra 1 - Uni Regensburg

Algebra 1
Ulrich Bunke
1. Aufgabenblatt
Abgabe: 25.10.05
Aufgabe 1 Sei G eine Gruppe, die von zwei Elementen h, g ∈ G erzeugt wird. Es sei
bekannt, daß die Relationen g r = 1 und gh = hs g für geeignete s, r ∈ N gelten. Zeigen
Sie, daß
G = {g m hn | m, n ∈ Z ,
0 ≤ m < r}
gilt. Zeigen Sie weiter, daß h endliche Ordnung hat, wenn s > 1 gilt.
Aufgabe 2 Sei G eine Gruppe und g, h ∈ G mit m := ord(g) und n := ord(h). Wir
nehmen an, daß (m, n) = 1 (d.h. n und m sind Teilerfremd) und gh = hg gilt. Zeigen
Sie, daß ord(gh) = mn gilt.
Aufgabe 3
1. Sei
GL2 (Z) := {A ∈ GL2 (C) ∩ Mat2 (Z)|A−1 ∈ GL2 (C) ∩ Mat2 (Z)}
die Menge der ganzzahlig invertierbaren Matrizen mit ganzzahligen Einträgen. Zeigen Sie, daß GL2 (Z) ⊂ GL2 (C) eine Untergruppe ist.
2. Zeigen Sie, daß |GL2 (Z)| = ∞ gilt.
3. Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen, welche als Eigenwerte von Matrizen A ∈
GL2 (C) endlicher Ordnung auftreten können.
4. Wir definieren O := {1, 2, 3, 4, 6, ∞} ⊂ N ∪ {∞}. Zeigen Sie:
O = {ord(A) | A ∈ GL2 (Z)} .
Aufgabe 4 Sei G := {A ∈ Mat2 (Z) | AAt = 1} die Menge der ganzzahligen orthogonalen
2 × 2-Matrizen.
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1. Bestimmen Sie die Ordnung von G.
2. Zeigen Sie, daß G genau eine zyklische Untergruppe G0 der Ordnung 4 besitzt.
3. Zeigen Sie, daß für alle d ∈ G0 und s ∈ G \ G0 gilt: sd = d−1 s.
Aufgabe 5 Seien H1 , H2 Untergruppen. Für g ∈ G nennt man die Teilmenge H1 gH2 ⊂ G
die Doppelnebenklasse von G bezüglich H1 und H2 .
1. Zeigen Sie, daß für g, g 0 ∈ G entweder H1 gH2 ∩ H1 g 0 H2 = ∅ oder H1 gH2 = H1 g 0 H2
gilt.
2. Zeigen Sie weiter, daß für endliche H1 , H2 gilt:
|H1 gH2 | =
|H1 ||H2 |
.
−1
|g H1 g ∩ H2
Aufgabe 6 Sei G eine Gruppe und A, B Untergruppen von G. Zeigen Sie:
1. Für x, y ∈ G ist Ax ∩ Bx entweder leer oder eine Linksnebenklasse von A ∩ B.
2. Es gilt [G : A ∩ B] ≤ [G : A][G : B].
3. Wenn A und B in G endlichen Index haben und [G : A] und [G : B] zueinander
prim sind, dann gilt [G : A ∩ B] = [G : A][G : B].
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